专题06 幂函数与指数函数 （知识串讲+热考题型+专题训练）-2022-2023学年高一数学上学期期中期末考点大串讲（苏教版2019必修第一册）（原卷版）.docx

专题06幂函数与指数函数

（一）幂函数

1.幂函数的定义

一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数.

2.常见的5种幂函数的图象

3.常见的5种幂函数的性质

函数特征性质

y＝x

y＝x2

y＝x3

y＝xeq\s\up6(\f(1,2))

y＝x－1

定义域

R

R

R

[0，＋∞)

{x|x∈R，且x≠0}

值域

R

[0，＋∞)

R

[0，＋∞)

{y|y∈R，且y≠0}

奇偶性

奇

偶

奇

非奇非偶

奇

（二）指数函数

1.指数函数的图象和性质

y＝ax

a1

0a1

图象

性质

函数的定义域为eq\a\vs4\al(R)；值域为(0，＋∞)

函数图象过定点(0,1)，即当x＝eq\a\vs4\al(0)时，y＝eq\a\vs4\al(1)

当x0时，恒有y1；

当x0时，恒有0y1；

当x0时，恒有0y1

当x0时，恒有y1

函数在定义域R上为增函数

函数在定义域R上为减函数

2．指数函数的图象与底数大小的比较

如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为cd1ab.

由此我们可得到以下规律：在y轴右(左)侧图象越高(低)，其底数越大．

题型一幂函数的概念

【典例1】（2020·广东省高一期末）若函数是幂函数，则（）

A．3 B． C．3或 D．

【典例2】（2022·江苏徐州·高一期末）若幂函数的图象过点，则的值为（????）

A． B． C． D．2

【典例3】（2020·江苏高考真题）已知y=f(x)是奇函数，当x≥0时，，则f(-8)的值是____.

【特别警示】

形如y＝xα的函数叫幂函数，这里需有：(1)系数为1，(2)指数为一常数，(3)后面不加任何项．例如y＝3x、y＝xx＋1、y＝x2＋1均不是幂函数，

题型二幂函数的图象和性质

【典例4】（2022·江苏·高一）若幂函数在同一坐标系中的部分图象如图所示，则?的大小关系正确的是（????）

A． B． C． D．

【典例5】（2022·江苏泰州·高一期末）若幂函数在区间上是减函数，则整数________．

【典例6】（2021·江苏·高一专题练习）下列命题中，

①幂函数的图象不可能在第四象限；

②当α＝0时，函数y＝xα的图象是一条直线；

③当α0时，幂函数y＝xα是增函数；

④当α＜0时，幂函数y＝xα在第一象限内函数值随x值的增大而减小．

其中正确的序号为________．

【规律方法】

幂函数y＝xα的形式特点是“幂指数坐在x的肩膀上”，图象都过点(1,1)．它们的单调性要牢记第一象限的图象特征：当α0时，第一象限图象是上坡递增；当α＜0时，第一象限图象是下坡递减．然后根据函数的奇偶性确定y轴左侧的增减性即可．

题型三幂函数图象和性质的应用

【典例7】（2021·江苏·高一单元测试）已知幂函数是增函数，则（????）

A．1 B． C．1或 D．2或

【典例8】（2020·黑龙江省铁人中学高二期中（文））已知函数是幂函数，且在上为增函数，若且则的值（）

A．恒等于 B．恒小于 C．恒大于 D．无法判断

【典例9】（2021·江苏·高一课时练习）求下列各式中实数a的取值范围：

（1）

（2）

【总结提升】

1.在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，既不同底又不同次数的幂函数值比较大小：常找到一个中间值，通过比较幂函数值与中间值的大小进行判断．准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键.

2.利用幂函数的性质比较幂值大小的方法步骤．

第一步，据指数分清正负；

第二步，正数区分大于1与小于1，a1，α0时，aα1；0a1，α0时0aα1；a1，α0时0aα1；0a1，α0时，aα1；

第三步，构造幂函数应用幂函数单调性，特别注意含字母时，要注意底数不在同一单调区间内的情形．

2．给定一组数值，比较大小的步骤．

第一步：区分正负．一种情形是幂函数或指数函数值即幂式确定符号；另一种情形是对数式确定符号，要根据各自的性质进行．

第二步：正数通常还要区分大于1还是小于1.

第三步：同底的幂，用指数函数单调性；同指数的幂用幂函数单调性；同底的对数用对数函数单调性．

第四步：对于底数与指数均不相同的幂，或底数与真数均不相同的对数值大小的比较，通常是找一中间值过渡或化同底(化同指)、或放缩、有时作商(或作差)、或指对互化，对数式有时还用换底公式作变换等等．

【易错警示】用幂函数的性质解题时，易忽略函数的定义域及不同单调区间的讨论.

题型四指数函数的图象及应用

【典例10】（2021·江苏·高一专题练习）函数的图像如图所示，其中为常数，则下列结论正确的是（????）