河北省省级示范性高中联合测评2024-2025学年高一下学期3月月考数学试题（解析版）.docx

高级中学名校试题

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河北省省级示范性高中联合测评2024-2025学年高一下学期

3月月考数学试题

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知为虚数单位，，若，则（）

A. B.

C. D.

【答案】C

【解析】由，化简得，所以.

故选：C.

2.在中，设，若，则（）

A. B.

C. D.

【答案】D

【解析】在中，；①

在中，；②

①+②，得，

因为，所以，即.

故选：D.

3.已知复数的实部与虚部互为相反数，且，则满足条件的复数的个数为（）

A.0 B.2 C.4 D.无数个

【答案】B

【解析】由复数z的实部与虚部互为相反数，

可设，则，，

解得，所以或.

故选：B.

4.已知向量满足，则在上的投影向量为（）

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】由题意，，

所以在上的投影向量为.

故选：A．

5.在中，内角的对边分别为，若，则的形状为（）

A.等腰三角形 B.直角三角形

C.等腰直角三角形 D.直角三角形或等腰三角形

【答案】D

【解析】，，

，

化简得，，

，即，

或，

，或，即或，

是直角三角形或等腰三角形.

故选：D.

6.在中，已知，点在线段上，若，则（）

A.2 B. C.3 D.

【答案】C

【解析】当时，三点共线，与题意矛盾，所以，

因为，所以，

则，

因为三点共线，所以，解得.

故选：C.

7.某校高一年级的学生参加了主题为《追寻大儒足迹，传承董子文化》的实践活动.在参观董子文化馆时，为了测量董子雕像高度，在处测得雕像最高点的仰角分别为和，且，，则该雕像的高度约为（）（参考数据：）

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】，，

，则，

在中，，

，即.

所以该雕像的高度约为4m.

故选：A.

8.已知向量，则的最大值为（）

A.2 B. C.1 D.

【答案】B

【解析】由题，

，

所以

，

所以，

令，则，.

所以时取得最大值为.

故选：B.

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知向量满足，它们的夹角为，则下列向量中，与向量的模相等的向量有（）

A. B.

C. D.

【答案】AC

【解析】因为，夹角为，

所以，.

对于A，，A正确；

对于B，，B不正确；

对于C，，C正确；

对于D，，D不正确.

故选：AC.

10.已知复数（为虚数单位），则下列说法正确的是（）

A.

B.复数的虚部为

C.若对应的向量为对应的向量为，则向量对应的复数为

D.若复数是关于的方程的一个根，则

【答案】ACD

【解析】A选项，，A正确；

B选项，，故复数的虚部为，B错误；

C选项，由题意，又，

则向量，

故向量对应的复数为，C正确；

D选项，若复数是关于的方程的一个根，

则，故和均为方程的根，

故，，

所以，，

故，，，D正确.

故选：ACD.

11.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车，（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”，奔驰定理：已知是内一点，、、的面积分别为、、，且.则下列说法正确的是（）

A.若，则为的重心

B.若，则

C.若，则

D.若为的内心，且，则

【答案】ABD

【解析】对于A选项，若，则，

取线段的中点，连接，则，

所以，即，故、、三点共线，

分别取线段、的中点、，连接、，

同理可证、、三点共线，、、三点共线，则为的重心，

因此，若，则为的重心，A对；

对于B选项，若，由“奔驰定理”可得，

所以，，所以，，

故，B对；

对于C选项，若，即，

即，即，

又，不共线，

所以，

所以由“奔驰定理”可得，C错；

对于D选项，若为的内心，设的内切圆半径为，

则，

因为，则，

故，

设，则，，则，

故为直角，所以，D对.

故选：ABD.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知复数满足，则__________.

【答案】

【解析】依题意，所以.

13.定义向量的一种新运算：，其中是向量的夹角.已知，则__________.

【答案】

【解析】因为，所以，

解得，则.

14.已知点为等腰外接圆上的一个动点，，则的取值范围为__________.

【答案】

【解析】在等腰中，，则，

若，则，矛盾；

若，则，合乎题意.

由于余弦定理可得，

设，，

当点在优弧（不包括点、）上运动时，，

则，