5.7 三角函数的应用（精讲）（解析版）.docx

5.7三角函数的应用（精讲）

考点一在几何中的应用

【例1】（2022·江苏）八一起义纪念碑(如图甲所示)是江西省南昌市的标志性建筑，它坐落于南昌市中心的八一广场.纪念碑的碑身为长方体，正北面是叶剑英元帅题写的“八一南昌起义纪念塔”九个铜胎鎏金大字.建军节那天，李华同学去八一广场瞻仰纪念碑，把地面抽象为平面?碑身抽象为线段，李华同学抽象为点，则李华同学站在广场上瞻仰纪念碑的情景可简化为如图乙所示的数学模型，设A?B两点的坐标分别为，，要使看上去最长(可见角最大)，李华同学(点)的坐标为(????)

甲

乙

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】设，则C(c，0)，

，当且仅当，即时取等号，

∵为锐角，故当tan最大时，最大．故选：A．

【一隅三反】

1．（2022·广东·执信中学高一阶段练习）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有一个“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何？”其意思为“今有水池丈见方（即尺），芦苇生长在水的中央，长出水面的部分为尺．将芦苇向池岸牵引，恰巧与水岸齐接（如图所示）．试问水深、芦苇的长度各是多少？”设，现有下述四个结论，其中错误的结论为（????）

A．水深为尺 B．芦苇长为尺

C． D．

【答案】B

【解析】设尺，则尺，

尺，，，AC=13尺.

，由，解得（负根舍去）．

，故ACD正确，错误的结论为B．

故选：B.

2．（2021·江苏·高一专题练习）某艺术爱好者对《蒙娜丽莎》的同比例影像作品进行了测绘.将画中女子的嘴唇近似看作一个圆弧，在嘴角，处作圆弧的切线，两条切线交于点，测得如下数据：，，.根据测量得到的结果推算女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角位于（????）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】取，设则

设《蒙娜丽莎》中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角为则故选：B

3．（2022广东）如图，学校有一块矩形绿地，且，现准备在矩形空地中规划一个三角形区域开挖池塘，其中分别在边上，若则面积的最小值为___________.

【答案】

【解析】设，由题意得：，

则，

，

当即时取得最小值，最小值为

故答案为：

考点二在生活中的应用

【例2】（2022·北京·高一期末）石景山游乐园“梦想之星”摩天轮采用国内首创的横梁中轴结构，风格现代简约.“梦想之星”摩天轮直径米，总高约米，匀速旋转一周时间为分钟，配有个球形全透视度全景座舱.如果不考虑座舱高度等其它因素，该摩天轮的示意图如图所示，游客从离地面最近的位置进入座舱，旋转一周后出舱.甲乙两名同学通过即时交流工具发现，他们两人进入各自座舱的时间相差分钟.这两名同学在摩天轮上游玩的过程中，他们所在的高度之和的最大值约为（????）

A．米 B．米 C．米 D．米

【答案】C

【解析】因为角速度为，

所以游客从离地面最近的位置进入座舱，游玩中到地面的距离为

，

由题意可得甲乙在摩天轮上游玩的过程中他们所在的高度之和

，

因为，

所以，

所以，，

所以，

所以，即他们所在的高度之和的最大值约为，

故选：C

【一隅三反】

1．（2022·全国·高一课时练习）如图，某摩天轮最高点距离地面高度为，转盘直径为，开启后按逆时针方向匀速旋转，旋转一周需要.游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，开始转动后距离地面的高度为，则在转动一周的过程中，高度关于时间的函数解析式是（????）

A．

B．

C．

D．

【答案】B

【解析】根据题意设，，

因为某摩天轮最高点距离地面高度为，转盘直径为，

所以，该摩天轮最低点距离地面高度为，

所以，解得，

因为开启后按逆时针方向匀速旋转，旋转一周需要，

所以，，解得，

因为时，，故，即，解得.

所以，

故选：B

2．（2022·湖北·高一阶段练习）一个半径为5米的水轮示意图，水轮的圆心O距离水面2米，已知水轮自点A开始1分钟逆时针旋转9圈，水轮上的点P到水面的距离y（单位：米）与时间x（单位：秒）满足函数关系式，，，则有（????）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】A

【解析】因为水轮自点A开始1分钟逆时针旋转9圈，

函数周期，所以

由图知，点P到水面距离的最大值为7，所以，得.

故选：A

3．（2021·北京·高一期中）如图，摩天轮的半径为40米.摩天轮的中心O点距离地面的高度为45米，摩天轮匀速逆时针旋转.每30分钟转一圈.若摩天轮上点P的起始位置在最低点处.下面有关结论正确的是（????）

A．经过10分钟，点P距离地面的高度为45米

B．第25分钟和第70分钟点P距离地面的高度相同

C．从第10分钟至第20分钟，点P距离地面的高度一直在上升

D．摩天轮旋转一周，点P距离地面的高度不低于65米的时间为10分钟

【答案】D

【解析】由题设，摩天