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信号与系统期末考试题练习题库及答案

一、选择题

1.已知$f(t)$的频谱函数为$F(j\omega)$，则$f(2t3)$的频谱函数为（）

A.$\frac{1}{2}F(j\frac{\omega}{2})e^{j\frac{3\omega}{2}}$

B.$\frac{1}{2}F(j\frac{\omega}{2})e^{j3\omega}$

C.$2F(j2\omega)e^{j\frac{3\omega}{2}}$

D.$2F(j2\omega)e^{j3\omega}$

答案：A

详细解答：

根据傅里叶变换的时移和尺度变换性质。

首先，对于时移性质，若$f(t)\leftrightarrowF(j\omega)$，则$f(tt_0)\leftrightarrowF(j\omega)e^{j\omegat_0}$。

对于尺度变换性质，若$f(t)\leftrightarrowF(j\omega)$，则$f(at)\leftrightarrow\frac{1}{|a|}F(j\frac{\omega}{a})$。

对于$f(2t3)$，先将其变形为$f\left[2\left(t\frac{3}{2}\right)\right]$。

先进行尺度变换，$f(2t)\leftrightarrow\frac{1}{2}F(j\frac{\omega}{2})$，再进行时移变换，$f\left[2\left(t\frac{3}{2}\right)\right]\leftrightarrow\frac{1}{2}F(j\frac{\omega}{2})e^{j\frac{3\omega}{2}}$。

2.下列信号中，（）是周期信号。

A.$f(t)=2\cos(3t)+3\sin(5t)$

B.$f(t)=2\cos(3t)+3\sin(\sqrt{5}t)$

C.$f(t)=e^{t}\sin(2t)$

D.$f(t)=t\cos(2t)$

答案：A

详细解答：

对于两个周期信号$f_1(t)=A_1\cos(\omega_1t+\varphi_1)$和$f_2(t)=A_2\cos(\omega_2t+\varphi_2)$，若它们的周期分别为$T_1=\frac{2\pi}{\omega_1}$和$T_2=\frac{2\pi}{\omega_2}$，则$f(t)=f_1(t)+f_2(t)$为周期信号的条件是$\frac{T_1}{T_2}=\frac{\omega_2}{\omega_1}$为有理数。

选项A：对于$y_1=2\cos(3t)$，$\omega_1=3$，$T_1=\frac{2\pi}{3}$；对于$y_2=3\sin(5t)$，$\omega_2=5$，$T_2=\frac{2\pi}{5}$，$\frac{T_1}{T_2}=\frac{5}{3}$是有理数，所以$f(t)=2\cos(3t)+3\sin(5t)$是周期信号。

选项B：对于$y_1=2\cos(3t)$，$T_1=\frac{2\pi}{3}$；对于$y_2=3\sin(\sqrt{5}t)$，$T_2=\frac{2\pi}{\sqrt{5}}$，$\frac{T_1}{T_2}=\frac{\sqrt{5}}{3}$是无理数，所以$f(t)$不是周期信号。

选项C：$f(t)=e^{t}\sin(2t)$是衰减的正弦信号，不是周期信号。

选项D：$f(t)=t\cos(2t)$由于含有$t$因子，不是周期信号。

二、填空题

1.连续时间信号$f(t)=\sin(2t)+\cos(3t)$的基波周期$T=$______。

答案：$2\pi$

详细解答：

对于$y_1=\sin(2t)$，其角频率$\omega_1=2$，周期$T_1=\frac{2\pi}{\omega_1}=\pi$；对于$y_2=\cos(3t)$，其角频率$\omega_2=3$，周期$T_2=\frac{2\pi}{\omega_2}=\frac{2\pi}{3}$。

求$T_1$和$T_2$的最小公倍数，设$mT_1=nT_2$，即$m\pi=n\frac{2\pi}{3}$，可得$\frac{m}{n}=\frac{2}{3}$，所以最小公倍数$T=2\pi$。

2.已知离散序列$x[n]=\{1,2,3,4;n=0,1,2,3\}$，其$z$变换$X(z)=$______。

答案：$1+2z^{1}+3z^{2