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2025届湖北省第五届测评活动高三自主练习(二模)数学试题
注意事项
1.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回.
2.答题前,请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.
3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.
4.作答选择题,必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑;如需改动,请用橡皮擦干净后,再选涂其他答案.作答非选择题,必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律无效.
5.如需作图,须用2B铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗.
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.在中,为边上的中线,为的中点,且,,则()
A. B. C. D.
2.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数(即质数)的和”,如,.在不超过20的素数中,随机选取两个不同的数,其和等于20的概率是()
A. B. C. D.以上都不对
3.如图所示的程序框图,若输入,,则输出的结果是()
A. B. C. D.
4.已知向量,,设函数,则下列关于函数的性质的描述正确的是
A.关于直线对称 B.关于点对称
C.周期为 D.在上是增函数
5.已知,其中是虚数单位,则对应的点的坐标为()
A. B. C. D.
6.如图,在△ABC中,点M是边BC的中点,将△ABM沿着AM翻折成△ABM,且点B不在平面AMC内,点P是线段BC上一点.若二面角P-AM-B与二面角P-AM-C的平面角相等,则直线AP经过△ABC
A.重心 B.垂心 C.内心 D.外心
7.要得到函数的图像,只需把函数的图像()
A.向左平移个单位 B.向左平移个单位
C.向右平移个单位 D.向右平移个单位
8.已知函数且,则实数的取值范围是()
A. B. C. D.
9.已知双曲线的右焦点为,若双曲线的一条渐近线的倾斜角为,且点到该渐近线的距离为,则双曲线的实轴的长为
A. B.
C. D.
10.如图,是圆的一条直径,为半圆弧的两个三等分点,则()
A. B. C. D.
11.已知为虚数单位,实数满足,则()
A.1 B. C. D.
12.一个超级斐波那契数列是一列具有以下性质的正整数:从第三项起,每一项都等于前面所有项之和(例如:1,3,4,8,16…).则首项为2,某一项为2020的超级斐波那契数列的个数为()
A.3 B.4 C.5 D.6
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.已知向量,且,则实数的值是__________.
14.内角,,的对边分别为,,,若,则__________.
15.已知函数,则函数的极大值为___________.
16.已知一个圆锥的底面积和侧面积分别为和,则该圆锥的体积为________
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(12分)在一次电视节目的答题游戏中,题型为选择题,只有“A”和“B”两种结果,其中某选手选择正确的概率为p,选择错误的概率为q,若选择正确则加1分,选择错误则减1分,现记“该选手答完n道题后总得分为”.
(1)当时,记,求的分布列及数学期望;
(2)当,时,求且的概率.
18.(12分)某地为改善旅游环境进行景点改造.如图,将两条平行观光道l1和l2通过一段抛物线形状的栈道AB连通(道路不计宽度),l1和l2所在直线的距离为0.5(百米),对岸堤岸线l3平行于观光道且与l2相距1.5(百米)(其中A为抛物线的顶点,抛物线的对称轴垂直于l3,且交l3于M?),在堤岸线l3上的E,F两处建造建筑物,其中E,F到M的距离为1?(百米),且F恰在B的正对岸(即BF⊥l3).
(1)在图②中建立适当的平面直角坐标系,并求栈道AB的方程;
(2)游客(视为点P)在栈道AB的何处时,观测EF的视角(∠EPF)最大?请在(1)的坐标系中,写出观测点P的坐标.
19.(12分)已知,均为正数,且.证明:
(1);
(2).
20.(12分)某保险公司给年龄在岁的民众提供某种疾病的一年期医疗保险,现从名参保人员中随机抽取名作为样本进行分析,按年龄段分成了五组,其频率分布直方图如下图所示;参保年龄与每人每年应交纳的保费如下表所示.据统计,该公司每年为这一万名参保人员支出的各种费用为一百万元.
年龄
(单位:岁)
保费
(单位:元)
(1)用样本的频率分布估计总体分布,为使公司不亏本,求精确到整数时的最小值;
(2)经调查,年龄在之间的老人每人中有人患该项
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