第5章《函数概念与性质》 中的函数单调性和奇偶性问题汇总（解析版）.docx

第5章《函数概念与性质》中的函数单调性和奇偶性问题汇总

TOC\o1-4\h\z\u一、典型题型 1

题型1根据函数单调性求参数的值 5

题型2根据函数单调性解不等式 10

题型3比较函数值的大小 14

题型4由奇偶性求解析式 5

题型5有函数奇偶性解不等式 10

一．典型例题

题型1根据函数单调性求参数的值

反思领悟：

例1“”是“函数在区间上单调递减”的（????）

A．必要不充分条件 B．充分不必要条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】由函数在区间上单调递减可得，进而可判断为充分不必要条件.

【详解】对于函数，

当时，在R上单调递减；当时，若要使得在上单调递减，需满足且，解得.

“故”是“函数在区间上单调递减”的充分不必要条件，

故选:B.

例2（多选题）下列说法正确的是（????）

A．若存在R,当时，有则在R上单调递增

B．函数在区间内单调递减

C．若函数的单调递减区间是则

D．若在R上单调递增，则

【答案】BCD

【分析】根据函数单调性定义求解.

【详解】R,当时，有则在R上单调递增.所以A错误，D对；

函数在区间内单调递减，所以B正确；

函数的对称轴，开口向上，所以单调递减区间为，又函数的单调递减区间是所以，故，

所以C对.

故选：BCD.

例3已知函数.

(1)若函数在是增函数，求的取值范围；

(2)若对于任意的，恒成立，求的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由函数可知对称轴为，由单调性可知，即可求解；

（2）整理问题为在时恒成立，设，则可转化问题为在时恒成立，讨论对称轴与的位置关系，进而求解.

（1）

因为函数，所以对称轴为，

因为在是增函数，所以，解得

（2）

因为对于任意的，恒成立，

即在时恒成立，所以在时恒成立，

设，则对称轴为，即在时恒成立，

当，即时，，解得；

当，即时，，解得（舍去），

故.

题型2根据函数单调性解不等式

反思领悟：

例1已知函数在上单调递减，则不等式的解集为（????）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利根据函数的单调性及定义域将函数不等式转化为自变量的不等式，即可得到答案.

【详解】解：由题意，在上单调递减.

则由可得，解得，即原不等式的解集为.

故选：B.

例2（多选题）已知定义在上的函数的图象是连续不断的，且满足以下条件：①，；②函数在上单调递增；③.则下列选项成立的是（????）

A．

B．若，则

C．若，则

D．在定义域内有最大值

【答案】AC

【分析】利用函数的单调性即可判断选项A；

利用函数的单调性和奇偶性，解不等式即可判断选项B、C、D；

【详解】根据题中条件①②知，函数为上的偶函数，且在上单调递增.

，选项A正确；

是上的偶函数，且在上单调递增

时，，解得，选项B错误；

或，

解得或，即时，，选项C正确；

根据偶函数的单调性可得，函数在上单调递减

在上有最小值，故选项D错误.

故选：AC

例3已知．

(1)证明：在（2，+∞）单调递增；

(2)解不等式：．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）?x1，x2∈[2，+∞)，且x1＜x2，计算的正负即可；

（2）利用在（2，+∞）上的单调性去掉，然后解不等式即可.

(1)

?x1，x2∈[2，+∞)，且x1＜x2，则，

∵x1，x2∈[2，+∞)，则x1x24＞0，x1x2＞0，且x1﹣x2＜0，

∴0，即，

∴在[2，+∞)单调递增．

(2)

由，即∈[2，+∞)，

∵在[2，+∞)单调递增，要使，

∴，即，解得，

∴不等式的解集为．

题型3比较函数值的大小

反思领悟：

例1已知对于任意都有，且在区间上是单调递增的，则的大小关系是（????）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】由已知条件可以得出的周期，结合单调性化简，得出大小关系．

【详解】对于任意都有，周期为，

偶函数在区间上是单调递增，，，，即

故选：D

例2（多选题）已知定义在上的函数的图象是连续不断的，且满足以下条件：①，；②，当时，都有；③．则下列选项成立的是（????）

A．

B．若，则

C．若，则

D．，，使得

【答案】BCD

【分析】根据函数的单调性和奇偶性依次判断选项即可.

【详解】对选项A，由条件①得是偶函数，由条件②得在上单调递增，

所以，故A错误；

对选项B，若，则，得，故B正确；

对选项C，若，则或，

因为，所以或，故C正确；

对选项D，因为定义在上的偶函数的图象是连续不断的，

且在上单调递增，

所以，所以只需即可，故D正确．

故选：BCD．

例3设偶函数的定义域为R，当时，是减函数，试确定，，之间的大小关系．

【答案】

【分析】先比较、、的大小，再根据奇偶性可得题设中三者之间的大