任意角的三角函数讲解.docVIP

年级

高一

学科

数学

内容标题

任意角的三角函数

编稿老师

褚哲

一、学习目标

1.理解任意角三角函数〔正弦、余弦、正切〕的定义.

2.理解用单位圆中的有向线段来表示三角函数值的原理，并初步学会使用单位圆解决关于三角函数性质的简单问题.

3.借助单位圆中的三角函数线推导出诱导公式，掌握同角三角函数关系式，能进行同角三角函数之间的变换.

4.能正确运用诱导公式求任意角的三角函数值，以及进行简单三角函数式的化简与恒等式证明.

二、重点、难点

重点：1.任意角三角函数〔正弦、余弦、正切〕的定义，明确对应法那么和定义域.

2.正确地用三角函数线表示任意角的三角函数值.

3.同角三角函数的根本关系式的推导及其应用.

4.诱导公式.

难点：1.通过坐标求任意角的三角函数的值、判定三角函数值在各象限的符号.

2.正确地用与单位圆有关的三角函数线表示三角函数值.

3.熟练运用三角函数根本关系式.

4.诱导公式的推导以及对称变换思想的建立.

三、考点分析

课标要求：掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义，用单位圆中的三角函数线表示正弦、余弦和正切以及同角三角函数的根本关系式.理解三角函数的诱导公式.

在高考中，如果单独出题考查诱导公式，一般比拟容易，很多情况下是和三角恒等变换等内容综合在一起出题，属中档题.

一、任意角的三角函数

1．三角函数的定义：设是一个任意角，点是角的终边与单位圆的交点，那么：叫做的正弦，记作，即；叫做的余弦，记作，即；

叫做的正切，记作，即.

正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们将它们统称为三角函数.

推广：设点是角终边上的任意一点，它到坐标原点的距离，于是

；

；

.

另外还有，分别表示角的正割、余割、余切.

根据这些三角函数的计算式容易看到，.

2．三角函数值的符号与角所在的象限有关，它可根据三角函数的定义和各象限内的点的坐标符号推出.

3．正弦线、余弦线、正切线分别是正弦、余弦、正切函数的几何表示，这三种线段都是与单位圆有关的有向线段，这些特定的有向线段的数值可以用来表示三角函数值，因此称它们为三角函数线.

下列图是各象限内三角函数线的情况：

分别叫做角的正弦线、余弦线、正切线.

二、同角三角函数的根本关系

；

〔当，时〕.

三、诱导公式

1.诱导公式：，，，，，的三角函数值可简记为：“奇变偶不变，符号看象限”，其中“奇、偶”是指中的奇偶性；“符号”是指把任意角看作锐角时，原函数值的符号.

2.使用诱导公式的一般步骤：

这一过程充分表达了把未知问题化归为问题的数学思想.

知识点一：同角三角函数的关系

例1：cos?=，求角?的另外五个三角函数的值.

思路分析：根据所给角的余弦值，可以判断这个角的终边所在的象限，从而确定其他三角函数值的符号.

解答过程：由cos?=得?是第一或第四象限角.

假设?为第一象限角，那么sin?=，tan?=，cot?=，csc?=，sec?=;

假设?为第四象限角，那么sin?=-，tan?=-，cot?=-，csc?=-，sec?=.

解题后的思考：正割、余割、余切函数在课标中不作要求，只需了解某个角的正割、余割、余切值分别与这个角的正弦、余弦、正切值互为倒数即可.

例2：，求.

思路分析：此题考查三角函数式之间的转化能力，应熟练掌握三角函数的根本关系式.

解答过程：∵，

∴，

由韦达定理可知，是方程的两个根，

而该方程的两根为.∵，∴.

于是，进而有.

解题后的思考：利用完全平方式建立的三者之间的关系：，三者知其一，即可求其余两个.

例3：?为锐角，sin?=sin?且tan?=tan?，求?的值.

思路分析：条件是一个关于?，?的二元方程组，利用同角三角函数关系消去?，得到?

所满足的条件，从而求得?的值.

解答过程：由得=，那么sin?=?，而?是锐角，

那么有cos?=cos?.于是(sin?)2+(cos?)2=1，64(1-cos2?)+4cos2?=49，cos2?=，

所以，锐角?=.

解题后的思考：同角三角函数的根本关系式中正弦与余弦的平方和为1，几个三角函数的倒数关系都是经常考查的内容.

例4：设，求锐角，的值.

思路分析：经过配方，整理出假设干个平方和等于零的式子，从而求出与的值.

解答过程：式子两边同乘以2，再移项，得：

，

即.

∴∵，为锐角，∴.

解题后的思考：由一个等式要确定两个变量的值一般是不可能的，假设能确定，必定有隐含的条件可以利用，这就需要同学们仔细地去挖掘，该例是利用了非负数的和为零，那么这些数都为零的性质进行求解的.

知识点二：诱导公式

例5：求的值.

思路分析：求三角函数值时一般先将负角化为正角，再将其化为的角，最后化为锐角求值.

解答过程：原式

=

=2.