河南省名校学术联盟2025届高三下学期模拟冲刺数学试题（六）（解析版）.docx

高级中学名校试题

PAGE

PAGE1

河南省名校学术联盟2025届高三下学期模拟冲刺

数学试题（六）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.已知复数，若为实数，则（）

A.2 B.5 C.3 D.1

【答案】B

【解析】因为复数为实数，

则，即得，

则.

故选：B.

2.设集合，若，则的取值范围是（）

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】由题可知，

由，可得，

所以．

故选：A.

3.函数的最小正周期是（）

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】由余弦和角公式、倍角公式、降幂公式可得

，

所以的最小正周期为．

故选：C

4.过原点且与曲线相切的直线有（）

A.1条 B.2条 C.3条 D.4条

【答案】C

【解析】设切点，因为曲线，所以，

所以，所以，

所以或，

当时，所以，所以切线方程为，即；

当时，所以，所以切线方程为，即；

当时，所以，所以切线方程为，即；

所以切线有3条.

故选：C.

5.已知函数在定义域内单调递增，则的取值范围为（）

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】由在上单调递增，则值域为，

由对称轴为，

当时，开口向上，则，显然成立；

当时，在上单调递增，且，显然成立；

当时，开口向下，则，则；

综上，.

故选：D

6.设抛物线的焦点为F，直线l与C交于A，B两点，，，则l的斜率是（）

A.±1 B. C. D.±2

【答案】D

【解析】下图所示为l的斜率大于0的情况．

如图，设点A，B在C的准线上的射影分别为，，，垂足为H．

设，，则．

而，所以，

l的斜率为．同理，l的斜率小于0时，其斜率为．

另一种可能的情形是l经过坐标原点O，可知一交点为，则，

可求得，可求得l斜率为，

同理，l的斜率小于0时，其斜率为．

故选：D

7.已知某圆锥的轴截面是顶角为的等腰三角形，侧面展开图是圆心角为的扇形，则当的值最大时，（）

A.1 B.2

C. D.

【答案】D

【解析】设圆锥的母线长为l，则圆锥的底面半径，

侧面展开图的扇形弧长，即圆锥底面的周长，

因此，，．

记，，则，

因为在上递减，且，，

所以存在唯一的满足，即，

且当时，，则在单调递增，

当时，，则在单调递减，

故是的极大值点，也是最大值点．

此时．

故选：D

8.已知，，则的最大值为（）

A.1 B.2 C. D.

【答案】A

【解析】由

①，

令，，则①式，

所以的最大值为

，，

所以，令，

当，即时，，

此时①式，即，

综上，，时目标式取最大值为1.

故选：A

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．

9.已知椭圆，则（）

A.的取值范围为 B.若的焦点在轴上，则

C.若，则的焦距为6 D.若，则的离心率为

【答案】CD

【解析】由题设，可得，A错；

若的焦点在轴上，则，可得，B错；

若，则的焦距为，C对；

若，则的离心率为，D对.

故选：CD

10.已知任何大于1的非质数总可以分解成素数乘积的形式，且如果不计分解式中素数的次序，则这种分解式是唯一的．例如，其中素数2和3称为24的素因数，且24的不同正因数个数为．完全数，又称完美数或完备数，是一些特殊的自然数，它所有的真因子（即除了自身以外的约数）的和恰好等于它本身，例如，可知6的所有真因子为1，2，3，且，则6为完全数，则（）

A.97200的素因数为2，3，5

B.97200不同的正因数有96个

C.在小于30的非负偶数中有3个完全数

D.在小于30的非负偶数中随机选两个数，这两个数中至少有一个完全数的概率为

【答案】AD

【解析】由，即97200的素因数为2，3，5，A对；

由题设，97200不同的正因数有个，B错；

由，，，，，，，

，，，，，

，，，

综上，只有是完全数，共2个，C错；

由C分析知，15个数中有2个完全数，故随机选两个数中至少有一个完全数的概率为，D对.

故选：AD

11.已知在平面直角坐标系中，为坐标原点，，，且，，．记的轨迹分别为，，且与所封闭的面积分别为，则（）

A.为圆 B.最大值的最小值为

C. D.的最大值为

【答案】ABD

【解析】A项，点到定点距离为定值，

为以为圆心，为半径的圆，故A正确；

B项，由A项，可设，

又，可设，

则，

由，得，

，则，

，当时，等号成立，故的最大值为.

记

则，令得，

则当时，，在上单调递减；

当时，，在上单调递增；

所以，最大值的最小