5.2 函数的表示方法（解析版）.docxVIP

5.2函数的表示方法

TOC\o1-4\h\z\u5.2函数的表示方法 1

知识框架 1

一、基础知识点 1

知识点1函数的表示方法 3

知识点2分段函数 4

二、典型题型 5

题型1求函数解析式 7

题型2分段函数的求值问题 9

三、难点题型 9

题型1已知分段函数的值求参数或自变量 10

题型2分段函数的值域或最值 12

四、活学活用培优训练 25

一．基础知识点

知识点1函数的表示方法

例1设已知函数如下表所示：

1

2

3

4

5

5

4

3

2

1

5

4

3

2

1

4

3

2

1

5

则不等式的解集为（????）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】代入，根据表格，依次验证即可

【详解】由题意，当时，，不满足；

当时，，满足；

当时，，满足；

当时，，满足；

当时，，不满足；

故不等式的解集为

故选：C

例2（多选题）一水池有2个进水口，1个出水口，每个进水口的进水速度如图甲所示，出水口的出水速度如图乙所示．已知某天0点到6点，该水池至少打开一个水口，且水池的蓄水量如图丙所示，则下列判断正确的有（????）

A．点到点只打开了两个进水口 B．点到点三个水口都打开

C．点到点只打开了一个出水口 D．点到点至少打开了一个进水口

【答案】ACD

【分析】由甲、乙图知：每个进水口进水速度为，每个出水口出水速度为，再分析丙图中点到点、点到点、点到点的蓄水量的变化可得进水口和出水口的打开情况，即可得正确选项.

【详解】由甲、乙图知：每个进水口进水速度为，每个出水口出水速度为，

对于A：由丙图知：点到点蓄水量增加，所以只打开了两个进水口，只进水不出水，故选项A正确；

对于B：点到点蓄水量不变，说明三个水口都打开进出一样多蓄水量不变，故选项B正确；

对于C：点到点蓄水量减少，说明每个小时减少，所以打开了一个进水口和一个出水口，故选项C不正确；

对于D：由选项ABC的分析可知，点到点至少打开了一个进水口，故选项D正确；

故选：ACD.

例3已知函数．

(1)分别计算，的值．

(2)由（1）你发现了什么结论？并加以证明．

(3)利用（2）中的结论计算的值．

【答案】(1)，

(2)结论；证明见解析

(3)

【分析】（1）根据函数的解析式，代入计算，即可求解；

（2）根据函数的解析式，代入运算，即可得到；

（3）根据，结合分组求和，即可求解.

(1)

解：由题意，函数，

，．

(2)

解：由（1），得结论．

证明如下：

由．

(3)

解：由

．

知识点2分段函数

(1)在定义域内不同部分上，有不同的解析表达式．像这样的函数，通常叫做分段函数．

(2)分段函数定义域是各段定义域的并集，其值域是各段值域的并集．

(3)分段函数图象：画分段函数的图象，应在各自定义域之下画出定义域所对应的解析式的图象．分段函数是一个函数，因此应在同一坐标系中画出各段函数图象．

例1若，则的最小值是

A．0 B．1 C．3 D．不存在

【答案】B

【分析】根据分段函数特征，画出函数图象，集合图象即可求得最小值．

【详解】由可知，该函数为取较大值函数

画出函数的图象如图所示：

由图象可知，最小值为当

所以此时

所以最小值为

所以选B

【点睛】本题考查了函数图象的综合应用，利用图象求函数的最值，属于基础题．

例2（多选题）具有性质的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，给出下列函数，其中满足“倒负”变换的函数是（????）

A． B．

C． D．

【答案】AC

【分析】对于选项A、B、D，代入化简判断即可；对于选项C，分类讨论再化简判断即可．

【详解】对于选项A，

f（）x，﹣f（x）x，故满足“倒负”变换；

对于选项B，

f（）x，﹣f（x）x，故不满足“倒负”变换；

对于选项C，

当0＜x＜1时，f（）＝﹣x，﹣f（x）＝﹣x，

当x＝1时，f（1）＝0，成立，

当x＞1时，f（），﹣f（x），

故满足“倒负”变换；

对于选项D，

f（），﹣f（x），故不满足“倒负”变换；

故选：AC．

例3已知函数，.

(1)求，，的值；

(2)若，求实数a的值.

【答案】(1)，，

(2)或

【分析】（1），代入直接计算，然后先求出再计算；

（2）按分段函数定义分类讨论解方程．

（1）

由题可得，

，

因为，

所以；

（2）

①当时，，

解得，不合题意，舍去；

②当时，，即，

解得或，

因为，，所以符合题意；

③当时，，

解得，符合题意；

综合①②③知，当时，或．

二．典型题型

题型1求函数解析式

解题技巧：求函数解析式的常用方法

(1)待定系数法：已知函数f(x)的函数类型，求f(x)的解析式时，可根据类型设出其解析式，将已知条件代入解析式，得到含待定系数的方程(组)