5.2 函数的表示方法（原卷版）.docxVIP

5.2函数的表示方法

TOC\o1-4\h\z\u5.2函数的表示方法 1

知识框架 1

一、基础知识点 1

知识点1函数的表示方法 3

知识点2分段函数 5

二、典型题型 8

题型1求函数解析式 10

题型2分段函数的求值问题 12

三、难点题型 12

题型1已知分段函数的值求参数或自变量 15

题型2分段函数的值域或最值 17

四、活学活用培优训练 29

一．基础知识点

知识点1函数的表示方法

例1设已知函数如下表所示：

1

2

3

4

5

5

4

3

2

1

5

4

3

2

1

4

3

2

1

5

则不等式的解集为（????）

A． B． C． D．

例2（多选题）一水池有2个进水口，1个出水口，每个进水口的进水速度如图甲所示，出水口的出水速度如图乙所示．已知某天0点到6点，该水池至少打开一个水口，且水池的蓄水量如图丙所示，则下列判断正确的有（????）

A．点到点只打开了两个进水口 B．点到点三个水口都打开

C．点到点只打开了一个出水口 D．点到点至少打开了一个进水口

例3已知函数．

(1)分别计算，的值．

(2)由（1）你发现了什么结论？并加以证明．

(3)利用（2）中的结论计算的值．

知识点2分段函数

(1)在定义域内不同部分上，有不同的解析表达式．像这样的函数，通常叫做分段函数．

(2)分段函数定义域是各段定义域的并集，其值域是各段值域的并集．

(3)分段函数图象：画分段函数的图象，应在各自定义域之下画出定义域所对应的解析式的图象．分段函数是一个函数，因此应在同一坐标系中画出各段函数图象．

例1若，则的最小值是

A．0 B．1 C．3 D．不存在

例2（多选题）具有性质的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，给出下列函数，其中满足“倒负”变换的函数是（????）

A． B．

C． D．

例3已知函数，.

(1)求，，的值；

(2)若，求实数a的值.

二．典型题型

题型1求函数解析式

解题技巧：求函数解析式的常用方法

(1)待定系数法：已知函数f(x)的函数类型，求f(x)的解析式时，可根据类型设出其解析式，将已知条件代入解析式，得到含待定系数的方程(组)，确定其系数即可．

(2)换元法：令t＝g(x)，注明t的范围，再求出f(t)的解析式，然后用x代替所有的t即可求出f(x)，一定要注意t的范围即为f(x)中x的范围．

(3)配凑法：已知f(g(x))的解析式，要求f(x)时，可从f(g(x))的解析式中拼凑出“g(x)”，即用g(x)来表示，再将解析式两边的g(x)用x代替即可．

(4)代入法：已知y＝f(x)的解析式求y＝f(g(x))的解析式时，可直接用新自变量g(x)替换y＝f(x)中的x.

(5)方程组法(消去法)，适用于自变量具有对称规律的函数表达式，如：互为倒数eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(f?x?，f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))))，互为相反数(f(－x)，f(x))的函数方程，通过对称构造一个对称方程组，解方程组即可．在构造对称方程时，一般用eq\f(1,x)或－x替换原式中的x即可．

例1已知是一次函数，，，则（????）

A． B． C． D．

例2（多选题）若函数，则（????）

A． B．

C． D．

例3（1）已知是二次函数，且满足，，求函数的解析式；

（2）已知，求函数的解析式；

（3）已知是R上的函数，，并且对任意的实数x，y都有，求函数的解析式.

题型2分段函数的求值问题

解题技巧：1．分段函数求函数值的方法

(1)确定要求值的自变量属于哪一段区间．

(2)代入该段的解析式求值，直到求出值为止．当出现f(f(x0))的形式时，应从内到外依次求值．

2．已知函数值求字母取值的步骤

(1)先对字母的取值范围分类讨论．

(2)然后代入不同的解析式中．

(3)通过解方程求出字母的值．

(4)检验所求的值是否在所讨论的区间内．

例1已知函数，则（????）

A．0 B． C． D．1

例2（多选题）已知函数的图象由如图所示的两条线段组成，则有（????）

A．函数在区间上的最大值为2

B．

C．

D．，不等式的解集为

例3已知函数的解析式.

(1)求；

(2)若，求a的值；

(3)画出的图象，并写出函数的值域（直接写出结果即可）.

三．难点题型

题型1已知分段函数的值求参数或自变量

解题技巧：1．分段函数求函数值的方法

(1)确定要求值的自变量属于哪一段区间．

(2)代入该段的解析式求值，直到求出值为止．当出现f(f(x0))的形式时，应从内到外依次求值．

2．已知函数值求字母取值的步骤

(1)先对