5.4 函数的奇偶性（原卷版）.docxVIP

5.4函数的奇偶性

TOC\o1-4\h\z\u5.4函数的奇偶性 1

知识框架 1

一、基础知识点 1

知识点1奇函数与偶函数的概念 3

知识点2奇、偶函数的图象性质 4

二、典型题型 4

题型1函数奇偶性的判断 6

题型2奇偶函数的图象问题 7

题型3利用函数的奇偶性求解析式 9

三、难点题型 9

题型1奇偶函数的单调性 11

题型2由奇偶性求参数 13

题型3由奇偶性解不等式 15

四、活学活用培优训练 32

一．基础知识点

知识点1奇函数与偶函数的概念(1)偶函数：一般地，设函数y＝f(x)的定义域为A，如果对于任意的x∈A，都有－x∈A，并且f(－x)＝f(x)，那么称函数y＝f(x)是偶函数．(2)奇函数：一般地，设函数y＝f(x)的定义域为A，如果对于任意的x∈A，都有－x∈A，并且f(－x)＝－f(x)，那么称函数y＝f(x)是奇函数．

如果函数f(x)是奇函数或偶函数，我们就说函数f(x)具有奇偶性．

例1下列函数是偶函数的是（????）

A． B． C． D．，

例2（多选题）已知函数，的定义域都为R，且是奇函数，是偶函数，则下列结论正确的是（????）

A．是奇函数 B．是奇函数

C．是偶函数 D．是偶函数

例3判断函数的奇偶性.

知识点2奇、偶函数的图象性质：(1)偶函数的图象关于y轴对称，图象关于y轴对称的函数一定是偶函数．(2)奇函数的图象关于原点对称，图象关于原点对称的函数一定是奇函数．

例1在定义域内既是奇函数又是减函数的是（????）

A． B．

C． D．

例2（多选题）奇函数在的图像如图所示，则下列结论正确的有（????）

A．当时

B．函数在上单调递减

C．

D．函数在上单调递增

例3已知函数．

(1)当时，求值；

(2)若是偶函数，求的最大值．

二．典型题型

题型1函数奇偶性的判断

解题技巧：判断函数奇偶性的方法

(1)定义法

(2)图象法

若函数的图象关于原点对称，则函数为奇函数；若函数图象关于y轴对称，则函数为偶函数．此法多用于选择题中．

例1设函数，则下列函数中为偶函数的是（????）

A． B． C． D．

例2（多选题）下列判断正确的是（????）

A．是偶函数 B．是奇函数

C．是奇函数 D．是非奇非偶函数

例3已知函数，点，是图象上的两点.

(1)求a，b的值；

(2)判断函数的奇偶性，并说明理由；

(3)判断函数在上的单调性，并说明理由.

题型2奇偶函数的图象问题

解题技巧：巧用奇、偶函数的图象求解问题

(1)依据：奇函数?图象关于原点对称，偶函数?图象关于y轴对称．

(2)求解：根据奇、偶函数图象的对称性可以解决诸如求函数值或画出奇偶函数图象的问题．

例1函数的图象大致为（????）

A． B．

C． D．

例2（多选题）函数的图象是折线段，如图所示，其中点，，的坐标分别为，，，以下说法正确的是（????）

A．

B．的定义域为

C．为偶函数

D．若在上单调递增，则的最小值为1

例3已知函数y＝f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≤0时，f(x)＝x2＋2x.现已画出函数f(x)在y轴左侧的图象，如图所示．

(1)请补充完整函数y＝f(x)的图象；

(2)根据图象写出函数y＝f(x)的单调递增区间及值域；

(3)根据图象写出使f(x)0的x的取值集合；

(4)求出函数f(x)在R上的解析式.

题型3利用函数的奇偶性求解析式

解题技巧：利用函数奇偶性求解析式的方法

(1)“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设．

(2)要利用已知区间的解析式进行代入．

(3)利用f(x)的奇偶性写出－f(x)或f(－x)，从而解出f(x)．

例1若函数是定义在上的奇函数，且满足，当时，，则当时，函数的解析式为（????）

A． B． C． D．

例2（多选题）已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则（????）

A．的最小值为 B．在上单调递减

C．的解集为 D．存在实数满足

例3已知函数是定义在区间上的奇函数，当时，.

(1)求时的解析式；

(2)求函数的值域.

三．难点题型

题型1奇偶函数的单调性

解题技巧：奇函数单调性一致，偶函数单调性相反；

例1已知奇函数在上单调递减，且，则不等式的解集为（????）

A． B．

C． D．

例2（多选题）已知函数是定义在上的奇函数，当时，单调递减，则（????）

A． B．当时，单调递减

C．当时， D．，

例3已知函数是上的奇函数，当时，.

(1)当时，求解析式；

(2)若，求实数的取值范围.

题型2由奇偶性求参数

解题技巧：

例1若是奇函数，则（????）

A． B．

C． D．