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高级中学名校试题

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河南省周口市项城市2025届高三下学期高考模拟一

(开学诊断考试)数学试题

一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1.若命题,,则的否定是()

A., B.,

C., D.,

【答案】C

【解析】由命题否定的法则得;的否定是:,.

故选:.

2.已知集合,,若,则()

A.1 B. C.1或0 D.1或

【答案】D

【解析】因为,当,即时,,,符合题意;

当,即时,,,符合题意.

综上,或.

故选:D.

3.设,是两条不同的直线,,是两个不同的平面,若,,,,则“”是“”的()

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】若,又,,,所以,又,所以,所以“”是“”的充分条件;

当时,易得,此时与平行或相交,所以“”不是“”的必要条件.

综上,“”是“”的充分不必要条件.

故选:A.

4.已知,,且,则的最小值为()

A.1 B. C. D.2

【答案】C

【解析】由,,得,当且仅当时取等号,

则,即,解得,

时等号成立,故取得最小值.

故选:C

5.若,,是空间的一组基底,则()

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】若,,共面,

则,所以,

即,解得,,,

所以,若,,是空间的一组基底,则.

故选:B.

6.已知,,,则()

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】依题意,,,两式平方相加得,

即,由,得,则,即,

于是,,即,

两边平方整理得,又,解得,

所以.

故选:C

7.已知,,,是半径为15的球的球面上四点,,,则三棱锥体积的最大值为()

A.384 B.1152 C. D.

【答案】B

【解析】因为,,所以为的外接圆的直径,即半径,

由过球心垂直于截面的直线必过截面圆的圆心可知,

球心到平面的距离,

又直角面积,

当且仅当时取等号,

而点到平面的距离的最大值为,

所以三棱锥体积的最大值为.

故选:B.

8.已知倾斜角为的直线经过坐标原点,且与双曲线分别交于,两点(其中点位于第一象限),过作轴于点,若,则面积的取值范围是()

A. B.

C. D.

【答案】D

【解析】由题意设,

联立消去得,,所以,

又,所以,

设,则,,

由,得,所以

设到的距离为,所以,

所以的面积

故选:D.

二、选择题:本题共3小题,每小题,共1.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得,部分选对的得部分分,有选错的得0分.

9.已知为复数,则下列结论正确的是()

A.若,则

B.

C.若,则为纯虚数

D.若,则的最小值为1

【答案】ABD

【解析】A选项,因为,

所以,故A正确;

B选项,设,,则,

又,,

所以成立,故B正确;

C选项,当时,有成立,但此时为实数,故C错误;

D选项,设,,由于,则,即,

故,

由,得,则,

故当时,的最小值为1,故D正确.

故选:ABD

10.下列说法正确的是()

A.函数的图象既不关于某点对称也不关于某直线对称

B.函数的图象关于某直线对称

C.函数的图象关于某点对称

D.函数的图象关于某点对称

【答案】BCD

【解析】对A,令,

则,

所以函数的图象关于点对称,故A不正确;

对B,令,所以,

所以函数的图象关于直线对称,故B正确;

对C,因为,

所以的图象可由函数的图象向右平移1个单位,再向上平移1个单位得到,

而函数是奇函数,图象关于原点对称,

因此函数的图象关于点对称,故C正确;

对D,因为,

所以函数的图象可由函数的图象向右平移2个单位再向上平移3个单位得到,

设,

则,即是奇函数,图象关于原点对称,

因此函数的图象关于点对称,故D正确.

故选:BCD.

11.在直角坐标系中,已知抛物线的焦点为,,为上任意一点,经过点的直线与交于,两点,则()

A.到的准线的距离为2

B.的最小值为

C.的方程为

D.的面积可以为

【答案】BC

【解析】由抛物线标准方程可知:的坐标为,的准线方程为,

所以到准线的距离为1,所以A错误;

由抛物线的定义,过作准线的垂线,垂足为,所以,

当且仅当,,三点共线时等号成立,所以B正确;

设,,由题可知,,当时,两式作差可得,

所以,所以直线的方程为,

整理得,;

当时,,此时直线方程为,

把代入得,,

所以,即.

综上,直线的方程为,所以C正确;

设直线,,,由,

得,由韦达定理可知:,,

所以,

所以当且仅当时,的面积取得最小值为,所以的面积不可以为,所以D错误.

故选:BC.

三、

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