6.2 指数函数（原卷版）.docx

6.2指数函数

TOC\o1-4\h\z\u6.2指数函数 1

知识框架 1

一、基础知识点 1

知识点1指数函数的概念 3

知识点2指数函数的图象和性质 4

二、典型题型 4

题型1利用单调性比较大小 6

题型2利用单调性解不等式 8

题型3指数函数过定点问题 10

三、难点题型 10

题型1求指数函数型函数的定义域 12

题型2求指数函数型函数的值域 13

四、活学活用培优训练 22

一．基础知识点

知识点1指数函数的概念：一般地，函数y＝ax(a0，a≠1)叫作指数函数，它的定义域是R.

例1（多选题）函数y＝(a2－4a＋4)ax是指数函数，则a的值不可以是（????）

A．4 B．3 C．2 D．1

例2已知函数是指数函数，且，则______．

例3已知指数函数的图象经过，试求和的值．

知识点2指数函数的图象和性质

a1

0a1

图象

性

质

定义域

R

值域

(0，＋∞)

定点

图象过点(0,1)，图象在x轴的上方

函数值

的变化

x0时，y1；

x0时，0y1

x0时，0y1；

x0时，y1

单调性

在(－∞，＋∞)上是增函数

在(－∞，＋∞)上是减函数

奇偶性

非奇非偶函数

例1（多选题）在下列四个图形中，二次函数与指数函数的图象可能是（????）

A．B．C． D．

例2若函数f(x)＝ax＋b－1(a0，且a≠1)的图象经过第一、三、四象限，则一定有(a－1)b____0.(填“”“”“＝”)

例3已知函数f(x)＝ax＋b(a0，且a≠1)．

(1)若的图象如图①所示，求a，b的值；

(2)若的图象如图②所示，求a，b的取值范围；

(3)在(1)中，若＝m有且仅有一个实数解，求出m的取值范围．

二．典型题型

题型1利用单调性比较大小

解题技巧：

在进行指数式的大小比较时，可以归纳为以下3类

(1)底数同、指数不同：利用指数函数的单调性解决．

(2)底数不同、指数同：利用幂函数的单调性解决．

(3)底数不同、指数也不同：采用介值法．以其中一个的底为底，以另一个的指数为指数．比如ac与bd，可取ad，前者利用单调性，后者利用图象．

例1（多选题）若，则下列关系正确的是（????）

A． B． C． D．

例2已知则a，b，c的大小关系是________.

例3比较下列几组值的大小：

(1)和；

(2)和；

(3)和；

(4)，，．

题型2利用单调性解不等式

解题技巧：1．形如axay的不等式，借助y＝ax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a＞1与0＜a＜1两种情况讨论．

2．形如ax＞b的不等式，注意将b化为以a为底的指数幂的形式，再借助y＝ax的单调性求解．

例1（多选题）不等式成立的充分不必要条件可以是（）

A． B．

C． D．

例2不等式的解集为______．

例3已知函数是指数函数.

(1)该指数函数的图象经过点，求函数的表达式；

(2)解关于的不等式：.

题型3指数函数过定点问题

解题技巧：利用函数图像变换和指数函数过定点（0,1）

例1（多选题）已知幂函数的图象经过函数（且）的图象所过的定点，则幂函数具有的特性是（????）

A．在定义域内单调递减 B．图象过点

C．是奇函数 D．定义域是

例2函数（，且）的图象过定点.则点的坐标是_________.

例3已知函数（a是常数，且）的图像过定点，函数.

(1)求证：函数在上单调递增；

(2)解不等式.

三．难点题型

题型1求指数函数型函数的定义域

解题技巧：1．对于y＝af(x)这类函数(1)定义域是指使f(x)有意义的x的取值范围．

例1（多选题）下列四组函数中，表示同一函数的是（???????）

A．与 B．

C．与 D．与

例2函数的定义域为______．

例3已知函数.

(1)求的定义域；

(2)讨论的奇偶性.

题型2求指数函数型函数的值域

解题技巧：1．对于y＝af(x)这类函数

(2)值域问题，应分以下两步求解：

①由定义域求出u＝f(x)的值域；

②利用指数函数y＝au的单调性或利用图象求得函数的值域．

2．对于y＝m(ax)2＋n(ax)＋p(m≠0)这类函数值域问题，利用换元法，借助二次函数求解．

例1（多选题）已知函数，则（????）

A．函数的定义域为R B．函数的值域为

C．函数在上单调递增 D．函数在上单调递减

例2高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”：设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，也称取整函数，例如：，，已知，则函数的值域为______．

四．活学活用培优训练

一、单选题

1．若p：函数是指数函数，，则q是p的（?