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2024学年第二学期杭州市高三年级教学质量检测
数学试题卷
考生须知:
1.本试卷分试题卷和答题卷两部分.满分150分,考试时间120分钟.
2.请用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡指定的区域(黑色边框)内作答,超出答题区域的作答无效!
3.考试结束,只需上交答题卡.
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合,,则()
A. B. C. D.
2.已知向量,,,则()
A.2 B.0 C. D.
3.若等比数列满足,,则数列的公比等于()
A.或 B.或 C. D.
4.已知数据,,…,的方差,则()
A. B. C. D.
5.已知,为任意正数,若恒成立,则()
A. B. C. D.
6.定义“真指数”(e自然对数的底数),则()
A. B.
C. D.
7.设函数是奇函数.若函数,,则()
A.27 B.28 C.29 D.30
8.若,,则()
A. B.
C. D.
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共计18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.
9.已知复数(i是虚数单位),则()
A. B. C. D.
10.设函数,则()
A.是偶函数 B.
C.在区间上单调递增 D.为的极小值点
11.设曲线,直线与曲线C的交点的可能个数的集合记为,则()
A. B.
C. D.若,则且
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.曲线在点处的切线方程是__________.
13.已知是单位圆,正三角形的顶点A,B在上,则的最大值为__________.
14.甲、乙、丙三人分别从2个不同的数中随机选择若干个数(可以不选),分别构成集合A,B,C,记中元素的个数为m,则的概率为__________.
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)
某车企为考察选购新能源汽车的款式与性别的关联性,调查100人购买情况,得到如下列表:
新能源汽车A款
新能源汽车B款
总计
男性
50
10
x
女性
25
15
40
总计
y
25
100
(1)求x,y;
(2)根据小概率值的独立性检验,能否认为选购该新能源汽车的款式与性别有关联?
(3)假设用样本估计总体,用频率估计概率,所有人选购汽车的款式情况相互独立.若从购买者中随机抽取3人,设被抽取的3人中购买了B款车的人数为X,求X的数学期望.
附:,.
0.10
0.05
0.010
0.005
k
2.706
3.841
6.635
7.879
16.(15分)
已知函数.
(1)若,求的极小值;
(2)当时,求的单调递增区间;
(3)当时,设的极大值为,求证:.
17.(15分)
在平面四边形中,,,将沿翻折至,其中P为动点.
(1)设,
(i)证明:平面;
(ii)求三棱锥的体积;
(2)求直线与平面所成角的正弦值的最大值.
18.(17分)
已知抛物线的焦点F到准线l的距离为2,点,过F的直线交于A,B两点,过A,B分别作l的垂线,垂足分别为,,直线,与直线分别交于点M,N.
(1)求的方程;
(2)记M,N的纵坐标分别为,,当时,求直线的斜率;
(3)设E为x轴上一点,记,分别为直线,的斜率.若为定值,求点E的坐标.
19.(17分)
设,,…,是1,2,…n(且)的一个排列.数列满足为,,的中位数,规定,.将中的所有取值构成的集合记为.
(1)当时,求和;
(2)求中所有元素之和的最大值;
(3)求中元素个数的最小值.
2024学年第二学期杭州市高三年级教学质量检测
数学试题答案
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.
1
2
3
4
5
6
7
8
B
C
C
D
A
C
B
A
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.
9.ABC 10.BD 11.ACD
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12. 13.2 14.
四、解答题:本大题共5小题,共77分.
15.(13分)
(1),;
(2)零假设为:选购新能源汽车的款式与性别无关联.
根据列联表中的数据,可得,
根据小概率值的独立性检验,推断不成立,
可以认为选购车的款式与性别有关,此推断犯错误的概率不大于0.05;
(3)随机抽取1人购买B款车的概率为:,
X的可能取值有0,1,2,3,依题意X服从,.
因此,.
16.(15分)
由题意知.
(1)若,则,所以.
令,得.
所以在单调递减,在单调递增,
所以的极小值等于.
(2)因为,所以,
由,即,解得或.
故的单调增区间为和.
(3)当时,的极大值等于;
当时,,无极大值;
当时,由题意得,的极大值等于,
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