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浙江省杭州市高三下学期4月二模试题数学.docx

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2024学年第二学期杭州市高三年级教学质量检测

数学试题卷

考生须知:

1.本试卷分试题卷和答题卷两部分.满分150分,考试时间120分钟.

2.请用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡指定的区域(黑色边框)内作答,超出答题区域的作答无效!

3.考试结束,只需上交答题卡.

一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合,,则()

A. B. C. D.

2.已知向量,,,则()

A.2 B.0 C. D.

3.若等比数列满足,,则数列的公比等于()

A.或 B.或 C. D.

4.已知数据,,…,的方差,则()

A. B. C. D.

5.已知,为任意正数,若恒成立,则()

A. B. C. D.

6.定义“真指数”(e自然对数的底数),则()

A. B.

C. D.

7.设函数是奇函数.若函数,,则()

A.27 B.28 C.29 D.30

8.若,,则()

A. B.

C. D.

二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共计18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.

9.已知复数(i是虚数单位),则()

A. B. C. D.

10.设函数,则()

A.是偶函数 B.

C.在区间上单调递增 D.为的极小值点

11.设曲线,直线与曲线C的交点的可能个数的集合记为,则()

A. B.

C. D.若,则且

三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.

12.曲线在点处的切线方程是__________.

13.已知是单位圆,正三角形的顶点A,B在上,则的最大值为__________.

14.甲、乙、丙三人分别从2个不同的数中随机选择若干个数(可以不选),分别构成集合A,B,C,记中元素的个数为m,则的概率为__________.

四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.(13分)

某车企为考察选购新能源汽车的款式与性别的关联性,调查100人购买情况,得到如下列表:

新能源汽车A款

新能源汽车B款

总计

男性

50

10

x

女性

25

15

40

总计

y

25

100

(1)求x,y;

(2)根据小概率值的独立性检验,能否认为选购该新能源汽车的款式与性别有关联?

(3)假设用样本估计总体,用频率估计概率,所有人选购汽车的款式情况相互独立.若从购买者中随机抽取3人,设被抽取的3人中购买了B款车的人数为X,求X的数学期望.

附:,.

0.10

0.05

0.010

0.005

k

2.706

3.841

6.635

7.879

16.(15分)

已知函数.

(1)若,求的极小值;

(2)当时,求的单调递增区间;

(3)当时,设的极大值为,求证:.

17.(15分)

在平面四边形中,,,将沿翻折至,其中P为动点.

(1)设,

(i)证明:平面;

(ii)求三棱锥的体积;

(2)求直线与平面所成角的正弦值的最大值.

18.(17分)

已知抛物线的焦点F到准线l的距离为2,点,过F的直线交于A,B两点,过A,B分别作l的垂线,垂足分别为,,直线,与直线分别交于点M,N.

(1)求的方程;

(2)记M,N的纵坐标分别为,,当时,求直线的斜率;

(3)设E为x轴上一点,记,分别为直线,的斜率.若为定值,求点E的坐标.

19.(17分)

设,,…,是1,2,…n(且)的一个排列.数列满足为,,的中位数,规定,.将中的所有取值构成的集合记为.

(1)当时,求和;

(2)求中所有元素之和的最大值;

(3)求中元素个数的最小值.

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数学试题答案

一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.

1

2

3

4

5

6

7

8

B

C

C

D

A

C

B

A

二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.

9.ABC 10.BD 11.ACD

三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.

12. 13.2 14.

四、解答题:本大题共5小题,共77分.

15.(13分)

(1),;

(2)零假设为:选购新能源汽车的款式与性别无关联.

根据列联表中的数据,可得,

根据小概率值的独立性检验,推断不成立,

可以认为选购车的款式与性别有关,此推断犯错误的概率不大于0.05;

(3)随机抽取1人购买B款车的概率为:,

X的可能取值有0,1,2,3,依题意X服从,.

因此,.

16.(15分)

由题意知.

(1)若,则,所以.

令,得.

所以在单调递减,在单调递增,

所以的极小值等于.

(2)因为,所以,

由,即,解得或.

故的单调增区间为和.

(3)当时,的极大值等于;

当时,,无极大值;

当时,由题意得,的极大值等于,

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