专题4.2 2025年高考前夕（新课标卷数学）模拟大练兵之第16题（中档难度，含函数与导数，解三角形，立体几何，数列，圆锥曲线，概率统计等热门知识点)(解析版）.docx

专题4.22025年高考前夕模拟大练兵之第16题

（解答题第2题）

目录

TOC\o1-1\h\u题型定位一：平面向量与解三角形 2

题型定位二：空间向量与立体几何（高频+重点） 18

题型定位三：数列 54

题型定位四：平面解析几何 61

题型定位五：函数与导数 70

题型定位六：计数原理与概率统计 80

年份

新课标Ⅰ卷

新课标Ⅱ卷

精准定位

2022

第16题考查空间向量与立体几何（点面距，二面角等综合问题）（属常规题）

第16题考查概率统计（频率分布直方图和概率综合）（属常规题）

新课标Ⅰ、Ⅱ卷

解答题第16题，定位在解答题第2题，难度中等或中等偏下，考察知识点较丰富，特别重点关注空间向量与立体几何，概率统计题型，考察综合性比较强

2023

第16题考查空间向量与立体几何（线线平行，根据二面角求参数）（属常规题）

第16题考查概率统计（频率分布直方图和概率综合）（属常规题）

2024

第16题考查平面解析几何（根据直线与圆锥曲线位置关系求直线方程）（属常规题）

第16题考查导数（切线方程和极值问题）（属常规题）

题型定位一：平面向量与解三角形

1．（2025·江西上饶·二模）的内角所对的边分别为．

(1)求角；

(2)若，，且，求的面积．

【答案】(1)

(2)

【知识点】正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、数量积的运算律

【分析】（1）利用正弦定理，结合两角和的正弦公式、三角形的内角和公式，可求角.

（2）首先明确点的位置，求出中线的长，利用向量法表示的长，结合余弦定理，可得的值，再利用三角形的面积公式求面积即可.

【详解】（1）由正弦定理：，

所以，

所以，

得.

因为为三角形内角，所以，所以.

又，所以.

（2）如图：

??

因为，所以为的重心.

延长交与点，则为中点.因为，所以.

因为，

所以，即①

在中，由余弦定理得：②

由①②得：.

所以.

2．（2025·江苏·一模）在中，角所对的边分别为，且．

(1)求；

(2)若，，为的中点，求．

【答案】(1)

(2)

【知识点】正弦定理解三角形、余弦定理解三角形、数量积的运算律

【分析】（1）根据余弦定理或正弦定理进行边角转化，可求角.

（2）法一：在中，利用余弦定理，先求边与，再在中利用余弦定理求.

法二：利用，在和中利用余弦定理列式，可求的值.

法三：在中，利用余弦定理，先求边，再利用，结合平面向量数量积的有关运算，可求的值.

【详解】（1）法一：因为，由余弦定理：，

得：，则，因为，所以．

法二：因为，由正弦定理得：

，，

，，

因为，所以，因为，所以．

（2）在中，由余弦定理得：，

得：，

法一：，

在中，由余弦定理得：，得：．

法二：因为，所以，

所以，

所以，解得：．

法三：因为，所以，

，所以．

3．（2025·河北·三模）在中，三个内角所对的边分别为是的三等分点，且.

(1)当的面积时，求的长；

(2)当时，求边上的高.

【答案】(1)或.

(2)

【知识点】三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、用基底表示向量、数量积的运算律

【分析】（1）由余弦定理得，由的面积得，解出的值，再由余弦定理求解即可；

（2）根据向量的线性运算可得，进而结合平面向量的数量积的运算律可得，结合即可求出的值，进而求解即可.

【详解】（1），

由余弦定理得，

由，得，

解得或，

由题知，

当时，由余弦定理得，

则，即；

同理当时，，

综上所述，或.

（2），

，

即，

联立，可得，即，

解得边上的高为.

4．（2025·湖南邵阳·二模）已知向量，，设函数．

(1)求函数的最小正周期和单调递减区间；

(2)当时，，求实数的取值范围．

【答案】(1)最小正周期，单调递减区间为，

(2)

【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、二倍角的余弦公式、数量积的坐标表示、求sinx型三角函数的单调性

【分析】（1）先由向量数量积得到式子，再用公式将其变形为特定形式.借助周期公式计算，利用整体代换求单调递减区间.

（2）先根据范围算出.结合类似图像找到使函数值最小的情况，算出最小值.再解不等式，得出的范围.

【详解】（1）．

函数的最小正周期．

由，，

得，．

的单调递减区间为，．

（2）当时，，

结合的图像，当时，．

当时，，

，解得．实数的取值范围为．

5．（2025·湖南·二模）在中，角的对边分别为，且.

(1)求；

(2)若，点在边上，且是的平分线，求的面积.

【答案】(1)

(2)

【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形

【分析】（1）解法一：由正弦定理及两角和的正弦公式化简求解即可；

解法二：直接由余弦定理化