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解直角三角形及其应用;
知识串讲
解直角三角形
(1)在Rt△ABC中,∠C=90°,a,b,c分别是∠A,
∠B,∠C的对边.;
知识串讲
(3)直角三角形可解的条件和解法
条件:解直角三角形时知道其中的2个元素(至少有一个是边),就可以求出其余的3个未知元素.
解法:
①一边一锐角,先由两锐角互余关系求出另一锐角;知斜边,再用正弦(或余弦)求另两边;知直角边用正切求另一直角边,再用正弦或勾股定理求斜边;
②知两边:先用勾股定理求另一边,再用边角关系求锐角;
③斜三角形问题可通过添加适当的辅助线转化为解直角三角形问题.;
例1.在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c,根
据下列条件解直角三角形.
(1)∠A=30°,a=5;(2)∠B=60°,c=12;(3)a=2√3,b=2.;
(2)∠A=90°-∠B=90°-60°=30°...a=c·sinA=
/3
12×sin30°=12×;=6.sinB=,∴b=c·sinB=12×sin60°=12×
乙
=6√3.;
据下列条件解直角三角形.
∠A=60°,a=10;
解:∠B=90°-∠A=90°-60°=30°,:
3√3.sinB=∴b=csin30°;
例2.【例2】在△ABC中,∠A=105°,∠B=30°,AC=2,求BC的长.
解:如图,过点A作AD⊥BC于点D,∴∠ADB=∠ADC=90°∠BAC=
105°,∠B=30°,∴∠C=45°.在Rt△ADC中,∵∴AD=
AC·sinC=2×sin45°=√2.:AD=CD=√2.在Rt△ADB中,.tanB=
B0,∴BC=BD+CD=√6+√2.;
练2.1.如图,在△ABC中,AC=6,∠C=75°,∠B=45°,求AB的长.;
知识串讲
三角函数的应用
(1)仰角和俯角
在进行测量时,从下向上看,视线与水平线的夹角叫做仰角;
从上往下看,视线与水平线的夹角叫做俯角.;
仰角、俯角问题的常见基本模型;
知识串讲
(2)方位角
以正南或正北方向为准,正南或正北方向线与目标方向线构成的小于
90°的角,叫做方位角.如图所示:;
知识串讲
(3)坡度,坡角
如图:坡面的铅垂高度(h)和水平长度(1)的比叫做坡面坡度
记作i,即;
知识串讲
(4)利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是:
①将实际问题抽象为数学问题
(画出平面图形,转化为解直角三角形的问题);
②根据条件的特点,适当选用锐角三角函数等去解???角三角形;
③得到数学问题的答案;
④得到实际问题的答案.;
例3.1.如图,某初中数学兴趣小组想测量学校旗杆CD的高度,他们在
地面上选取了一个测量点A测得点D的仰角为26.6°,然后沿AC方向移动
12.62m到达测量点B,在点B测得点D的仰角为37°,求旗杆CD的高度(结果精确到0.1m,参考数据:sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,tan37°≈0.75,sin26.6°≈0.45,cos26.6°≈0.89,tan26.6°≈0.50).;
在Rt△ADC中,∠DAC=26.6°,∴tan26.6°-Cx+17262~0.50.
∴x=25.24,经检验,x=25.24是原方程的根.
∴CD=0.75x≈18.9(m).
∴旗杆CD的高度约为18.9m.;
跟踪训练
某滑雪场举办冰雪嘉年华活动,采用直升机航拍技术拍摄活动盛况.如
图,通过直升机的镜头C观测到水平雪道一端A处的俯角为30°,另一端B
处的俯角为45°.若直升机镜头C处的高度CD为300m,点A,D,B在同一直线上,则雪道AB的长度为(D).
A.300mB.150√2m
C.900mD.(300√3+300)m;
例3.2如图,某学校的初中部教学楼对面是小学部教学楼,在初中部教
学楼的窗口C(AC//BD)处测得小学部教学楼顶部D的仰角为27°,小学部教学楼底部B的俯角为13°,量得两栋教学楼之间的距离AB=15m.
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