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【推荐】平面向量知识点总结华

平面向量是高中数学的重要内容，它兼具代数与几何的双重属性，是沟通代数、几何与三角函数的桥梁。以下是对平面向量知识点的详细总结。

向量的基本概念

向量是既有大小又有方向的量。向量的大小叫做向量的模，记作$\vert\vec{a}\vert$。长度为$0$的向量叫做零向量，记作$\vec{0}$，零向量的方向是任意的。长度等于$1$个单位的向量叫做单位向量。方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，也叫共线向量，规定零向量与任意向量平行。长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。

向量的线性运算

1.向量的加法：三角形法则是已知非零向量$\vec{a}$，$\vec{b}$，在平面内任取一点$A$，作$\overrightarrow{AB}=\vec{a}$，$\overrightarrow{BC}=\vec{b}$，则向量$\overrightarrow{AC}$叫做$\vec{a}$与$\vec{b}$的和，记作$\vec{a}+\vec{b}$，即$\vec{a}+\vec{b}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$。平行四边形法则是在平面内任取一点$O$，作$\overrightarrow{OA}=\vec{a}$，$\overrightarrow{OB}=\vec{b}$，以$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$为邻边作平行四边形$OACB$，则以$O$为起点的对角线$\overrightarrow{OC}$就是$\vec{a}$与$\vec{b}$的和。向量加法满足交换律$\vec{a}+\vec{b}=\vec{b}+\vec{a}$和结合律$(\vec{a}+\vec{b})+\vec{c}=\vec{a}+(\vec{b}+\vec{c})$。

2.向量的减法：向量$\vec{a}$加上$\vec{b}$的相反向量叫做$\vec{a}$与$\vec{b}$的差，即$\vec{a}\vec{b}=\vec{a}+(\vec{b})$。作$\overrightarrow{OA}=\vec{a}$，$\overrightarrow{OB}=\vec{b}$，则$\overrightarrow{BA}=\vec{a}\vec{b}$，即$\vec{a}\vec{b}$可以表示为从向量$\vec{b}$的终点指向向量$\vec{a}$的终点的向量。

3.向量的数乘：实数$\lambda$与向量$\vec{a}$的积是一个向量，记作$\lambda\vec{a}$，它的长度与方向规定如下：$\vert\lambda\vec{a}\vert=\vert\lambda\vert\vert\vec{a}\vert$；当$\lambda\gt0$时，$\lambda\vec{a}$与$\vec{a}$的方向相同；当$\lambda\lt0$时，$\lambda\vec{a}$与$\vec{a}$的方向相反；当$\lambda=0$时，$\lambda\vec{a}=\vec{0}$。数乘向量满足结合律$\lambda(\mu\vec{a})=(\lambda\mu)\vec{a}$，分配律$(\lambda+\mu)\vec{a}=\lambda\vec{a}+\mu\vec{a}$，$\lambda(\vec{a}+\vec{b})=\lambda\vec{a}+\lambda\vec{b}$。

向量共线定理

向量$\vec{a}(\vec{a}\neq\vec{0})$与$\vec{b}$共线的充要条件是存在唯一实数$\lambda$，使得$\vec{b}=\lambda\vec{a}$。该定理是证明三点共线的重要工具，若$\overrightarrow{AB}=\lambda\overrightarrow{AC}$，则$A$，$B$，$C$三点共线。

平面向量基本定理

如果$\vec{e_1}$，$\vec{e_2}$是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量$\vec{a}$，有且只有一对实数$\lambda_1$，$\lambda_2$，使$\vec{a}=\lambda_1\vec{e_1}+\lambda_2\vec{e_2}$。不共线的向量$\vec{e_1}$，$\vec{e_2}$叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。

向量的坐标表示

在平面直角坐标系中，分别取与$x$轴、$y$轴方向相同的两个单位向量$\vec{i}$，$\vec{j}$作为基底。对于平面内的一个向量$\vec{a}$，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实