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第一章向量代数

向量代数运算、内积、外积和混合积

向量线性相关性和仿射坐标系

加法规则:三角形法则,平行四边形法则,多边形法则

仿射坐标系,直角坐标系

两个向量共线它们线性相关坐标成百分比

三个向量共面它们线性相关混合积为零坐标组成行列式为零

四个空间向量必线性相关

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向量运算坐标表示

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向量运算坐标表示

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内积基本性质

两个向量正交当且仅当它们内积为零

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外积运算性质

外积交换律和结合律都不成立

两个向量共线当且仅当它们外积为零

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第二章行列式

置换:逆序对,逆序数,符号(排列符号)

行列式定义:

n阶方阵一个函数;

n!个项和,每一个项带正负号(第二个指标排列符号),每一行取一个元,且要求n个元所在列不一样

行列式性质:计算行列式方法

克拉默法则:求解特殊线性方程组

行列式按一行或一列展开

拉普拉斯定理:行列式按多行或多列展开

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行列式性质(1)

性质1.

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行列式性质(2)

性质2.

性质3.行列式有一行(或一列)全为零时,行列式为零.

性质4.交换行列式两个行,行列式改变符号.

性质5.行列式有两行(或两列)成百分比时,行列式为零.

性质6.把行列式某一行(或某一列)c倍加到另一行(或另一列)上,行列式值不变.

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展开定理，克拉默法则

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第三章线性方程组与线性子空间

线性方程组初等变换把线性方程组变成与它同解方程组.

任意一个矩阵都能够经过一系列初等行变换化成行阶梯形矩阵.

任意一个矩阵都能够经过一系列初等行变换化成简化行阶梯形矩阵.

非齐次线性方程组解情况:

唯一解,无解,无穷多解

齐次线性方程组解情况:

有非零解条件

几个相关概念:

主变量,自由未知量,普通解,齐次线性方程组秩

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第三章线性方程组与线性子空间

非齐次线性方程组求解:

初等行变换(简化)行阶梯形矩阵

若出现矛盾,则方程组无解(秩[A,b]=秩A+1);

不然有解(秩[A,b]=秩A):若秩A=n,有唯一解;若秩An,有没有穷多解.

齐次线性方程组求解:

秩A=n,有唯一解;若秩An,有没有穷多解.

若A为方阵,则AX=0有非零解det(A)=0

齐次线性方程组解结构:基础解系张成线性子空间

非齐次线性方程组解结构:一个特解与齐次线性方程组解和(线性流形)

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第三章线性方程组与线性子空间

线性相关性与线性方程组

线性子空间

线性子空间交集是线性子空间

线性子空间和是线性子空间

任何线性子空间都包含0元素

若干向量线性组合全体集合是线性子空间(生成子空间)

齐次线性方程组解集是线性子空间

基:能够表示全部向量线性无关向量组

基存在性、性质

维数和秩概念

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第四章

利用向量、行列式和线性方程组理论研究几何空间中平面与直线仿射性质和度量性质

平面方程

普通方程、三点式方程、参数方程、点法式方程

直线方程

标准方程、参数方程、两点式方程、普通方程

平面之间位置关系：相交、平行、重合

从秩观点看

直线之间位置关系：相交、平行、重合、异面

直线与平面位置关系：相交、平行、包含

点到直线距离、点到平面距离、异面直线距离

两个平面夹角、平面与直线夹角、公垂线

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第五章

矩阵秩

线性方程组有解当且仅当方程组系数矩阵系数矩阵与增广矩阵有相同秩：

且当秩与未知量个数相等时,方程组解是唯一

齐次线性方程组有非零解秩n

在取定线性空间基后,线性变换与矩阵之间存在一一对应关系

矩阵加法与减法运算

矩阵乘法与除法（逆）运算

分块、初等矩阵

初等变换与矩阵乘积关系

矩阵逆求法、矩阵方程求解（初等行变换）

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第六章(1)概念

线性空间:一个非空集合，一个数域，两种代数运算，八条规则

欧几里得空间:线性空间+内积（对称性、线性、正定性）

长度、夹角（正交）

线性空间同构:存在映射满足1)一一映射;2)线性;

欧几里得空间同构:存在线性空间同构映射且保内积；

同构维数相同

基、维数、坐标；正交向量组、正交基、规范正交基

度量矩阵（规范正交基度量矩阵）

线性子空间和与直和

补子空间，正交补空间,正交投影