空间向量的正交分解及其坐标表示和运算的坐标表.pptxVIP

3.1.4—3.1.5

空间向量的坐标表示

oxyz从空间某一个定点０引三条互相垂直且有相同单位长度的数轴，这样就建立了空间直角坐标系０－xyz．点Ｏ叫做坐标原点，x轴、y轴、z轴叫做坐标轴，这三条坐标轴中每两条确定一个坐标平面，分别称为xoy平面、yoz平面、和Zox平面．

空间直角坐标系的画法:oxyz1.X轴与y轴、x轴与z轴均成1350,而z轴垂直于y轴．135013502.y轴和z轴的单位长度相同，x轴上的单位长度为y轴（或z轴）的单位长度的一半．

有了空间直角坐标系，那空间中的任意一点Ａ怎样来表示它的坐标呢？oxyzＡabc(a,b,c)经过A点作三个平面分别垂直于x轴、y轴和z轴，它们与x轴、y轴和z轴分别交于三点，三点在相应的坐标轴上的坐标a,b,c组成的有序实数对（a,b,c)叫做点Ａ的坐标记为：Ａ（a,b,c)

１．x轴上的点横03坐标就是与x轴交点的坐标，纵坐标和竖坐标都是０．在空间直角坐标系中,x轴上的点、xoy坐标平面内的点的坐标各有什么特点？０，横坐标与纵坐02标分别是点向两轴作垂线交点的坐标．２．xoy坐标平面01内的点的竖坐标为

练习．如图，已知长方体ABCD-A`B`C`D`的边长为AB=12,AD=8,AA`=5.以这个长方体的顶点Ａ为坐标原点，射线AB,AD,AA`分别为x轴、y轴和z轴的正半轴,建立空间直角坐标系,求长方体各个顶点的坐标．xyzAOA`BB`CC`DD`

如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且大小都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用来表示.因此我们可以类似平面直角坐标系,建立空间直角坐标系单位正交基底：

空间直角坐标系在空间选定一点O和一个单位正交基底以点O为原点，分别以的正方向建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，这样就建立了一个空间直角坐标系O—xyz.x轴、y轴、z轴，都叫做叫做坐标轴,点O叫做原点，向量都叫做坐标向量.通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面.xyzOkij对空间任一向量,由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组,使

以建立空间直角坐标系O—xyz若A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则AB=OB-OA=(x2-x1,y2-y1,z2-z1)

（0，0，0）规定：

2.空间向量数量积的坐标表示：设空间两个非零向量4.空间两点间的距离公式已知、，则注：此公式的几何意义是表示长方体的对角线的长度。

注意：（1）当时，同向；（2）当时，反向；（3）当时，。思考：当及时，的夹角在什么范围内？6.空间两非零向量垂直的条件

练习:已知求解:

练习：2.求下列两个向量的夹角的余弦：1.求下列两点间的距离：

∴点的坐标是.例1已知、，求：（1）线段的中点坐标和长度；例题：解：设是的中点，则

即到两点距离相等的点的坐标满足的条件是解：点到的距离相等，则（2）到两点距离相等的点的坐标满足的条件。化简整理，得

解：设正方体的棱长为1，如图建立空间直角坐标系，则例3如图,在正方体中，，求与所成的角的余弦值.

例5.在正方体A1xD1B1ADBCC1yzEFCD中点，求证：D1F中，E、F分别是BB1,，平面ADE证明：设正方体棱长为1，为单位正交基底，建立如图所示坐标系D-xyz，则可得：所以

BCC1A1B1AMxyzBCC1A1B1AMxyz

练习：xyz建立空间直角坐标系来解题。

基本知识：向量的长度公式与两点间的距离公式；思想方法：用向量计算或证明几何问题时，可以先建立直角坐标系，然后把向量、点坐标化，借助向量的直角坐标运算法则进行计算或证明。两个向量的夹角公式。