【排列数与组合数计算7大题型】.docx

【排列数与组合数的计算】

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知识讲解与常考题型

【题型1：排列数的计算】

知识讲解

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1.排列的概念

从个不同元素中取出（）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列。

2.排列数的定义

从个不同元素中取出（）个元素的所有排列的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的排列数，用符号表示。

3.排列数的计算公式

公式形式：。

推导过程：对于第一个位置，有种选择；选了第一个位置的元素后，第二个位置就有种选择；第三个位置有种选择；以此类推，第个位置就有种选择。根据分步乘法计数原理，将每个位置的选择数相乘，就得到了排列数的计算公式。

阶乘形式：，其中。例如。当时，，称为个元素的全排列。

4.计算示例

例如，计算，根据公式。

再如，计算，。

例题精选

例题精选

【例题1】（2425高二下·山西·阶段练习）若是正整数，则（????）

A． B． C． D．

【例题2】（2425高二下·湖北武汉·阶段练习）下列等式中，不正确的是（????）

A． B．

C． D．

相似练习

相似练习

【相似题1】（2425高二下·海南三亚·阶段练习）求的值为.

【相似题2】（2425高二下·江苏盐城·阶段练习）用排列数表示且．

【题型2：排列数公式的证明】

知识讲解

知识讲解

1.排列数公式回顾

排列数公式为，其中表示元素的总数，表示选取的元素个数，。

2.用分步乘法计数原理证明

第1步：从个不同元素中选一个放在第一个位置，有种选法。

第2步：在剩下的个元素中选一个放在第二个位置，有种选法。

第3步：在剩下的个元素中选一个放在第三个位置，有种选法。

……

第步：在剩下的个元素中选一个放在第个位置，有种选法。

根据分步乘法计数原理，完成这件事（即从个不同元素中取出个元素进行排列）共有种不同的方法，所以。

3.证明

因为，那么，分子分母约去后，就得到，而前面已证，所以。

例题精选

例题精选

【例题1】多选题（2324高二下·重庆·阶段练习）下列计算正确的是（????）

A． B．

C． D．

【例题2】多选题（2122高二上·全国·课后作业）（多选题）下列等式中成立的是（）

A． B．

C． D．

【例题3】（2425高二下·全国·课后作业）证明下列等式．

(1)；

(2)．

相似练习

相似练习

【相似题1】（2024高三·全国·专题练习）求解下列问题：

(1)计算：；

(2)求证：．

【相似题2】（2223高二·全国·课堂例题）求证：．

【相似题3】（2223高二·全国·课堂例题）证明：．

【题型3：排列的解方程与不等式】

知识讲解

知识讲解

排列数解方程

1.根据排列数公式展开

首先将方程中涉及的排列数根据公式展开。例如，对于方程，根据公式展开得到。

2.化简方程

对展开后的式子进行化简。在中，展开括号得，移项化为。

3.求解方程

通过试值法、因式分解等方法求解方程。对于，可以先尝试一些简单的整数，如时，，所以是方程的一个因式。然后利用多项式除法或综合除法将方程因式分解为。对于二次方程，其判别式，无实数根，所以原方程的解为。同时要注意，因为排列数中且，所以要舍去不符合条件的解。

排列数解不等式

1.根据排列数公式展开

与解方程类似，先将不等式中的排列数按照公式展开。例如，对于不等式，展开得到。

2.化简不等式

把展开后的式子进行化简，可化为。

3.求解不等式

对于一元二次不等式，先因式分解为，得到或。又因为且在排列数中（这里），所以不等式的解集为且。同样，要根据排列数的定义和条件，对解进行筛选和取舍，确保解符合实际意义

例题精选

例题精选

【例题1】（2425高二下·新疆哈密·阶段练习）已知，则等于（????）

A．12 B．7 C．6或13 D．6

【例题2】（2324高二下·宁夏吴忠·期中）不等式的解集是（????）

A． B． C． D．

【例题3】（2324高二下·河南郑州·期末）不等式的解集为（????）

A． B． C． D．

相似练习

相似练习

【相似题1】（2425高三·上海·课堂例题）若，则.

【相似题2】（2425高二下·江苏盐城·阶段练习）（1）计算：；

（2）解不等式：.

【相似题3】（2425高三·上海·课堂例题）求满足的整数的值.

【题型4：组合数的计算】

知识讲解

知识讲解

1.定义式

从个不同元素中取出（）个元素的所有组合的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的组合数，记作。其计算公式为，其中是排列数。

2.阶乘表示式

由排列数公式，以及，将其代入组合数定义式可得。例如，计算，则。

3.性质推导式

性质1：。这是因为从个元素中取