专题02 概率及运算、用频率估计概率知识归纳与题型突破（12类题型清单）讲义-2025届高三数学三轮冲刺.docx

专题02概率及运算、用频率估计概率知识归纳与题型突破（12类题型清单）讲义-2025届高三数学三轮冲刺

一、核心知识归纳

1.随机事件与概率

随机事件：在一定条件下，可能出现也可能不出现的事件。必然事件是在一定条件下必然会发生的事件，其概率为1；不可能事件是在一定条件下必然不会发生的事件，其概率为0。频率与概率：在相同条件下，进行n次试验，事件A发生的频数为m，则事件A发生的频率fnA=mn。当试验次数n很大时，频率fnA稳定在某个常数p附近，这个常数

2.概率的基本性质

设事件A，B是随机事件，则：

0≤

若A与B互斥（即A与B不可能同时发生），则PA∪B=P

若A与B互为对立事件（即A∪B为必然事件，且A∩

3.古典概型

定义：具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型。

试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；

每个基本事件出现的可能性相等。概率计算公式：对于古典概型，事件A发生的概率PA=mn，其中n是基本事件的总数，

4.几何概型

定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型。概率计算公式：在几何概型中，事件A发生的概率构成事件的区域长度面积或体积试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积PA

5.条件概率

定义：设A，B为两个事件，且PA0，称PB|A=P

0≤

若B与C是两个互斥事件，则PB

6.独立事件

定义：设A，B为两个事件，如果PAB=PAPB，则称事件A与事件B相互独立。若A与B相互独立，则A与B―，A―与B，A―与B―也都相互独立。独立重复试验与二项分布：在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X，在每次试验中事件A发生的概率为p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为PX

二、12类题型清单及突破

1.频率与概率关系的应用

题型示例：某工厂生产了1000件产品，其中有50件次品，现从中随机抽取一件，用频率估计该产品是次品的概率。解析：次品的频率为501000=0.05，当试验次数很大时，频率稳定于概率，所以估计该产品是次品的概率为0.05。

2.互斥事件概率的计算

题型示例：从一副扑克牌（除去大、小王，共52张）中随机抽取一张，求抽到红桃或黑桃的概率。解析：设“抽到红桃”为事件A，“抽到黑桃”为事件B，A与B互斥。PA=1352=14

3.对立事件概率的计算

题型示例：在一个不透明的袋子中有10个球，其中8个白球，2个黑球，从中随机摸出一个球，求摸出的球不是黑球的概率。解析：设“摸出的球是黑球”为事件A，则“摸出的球不是黑球”为事件A―，PA=210

4.古典概型的概率计算

题型示例：同时掷两枚质地均匀的骰子，求向上的点数之和为7的概率。解析：基本事件总数n=6×6=36（第一枚骰子有6种结果，第二枚骰子也有6种结果）。事件“向上的点数之和为7”包含的基本事件有1,6，2,5，3,4，

5.几何概型的概率计算

题型示例：在区间[0,5]上随机取一个数x，求x满足2x4的概率。解析：试验的全部结果所构成的区域长度为5?0=

6.条件概率的计算

题型示例：已知某家庭有两个孩子，在至少有一个是女孩的条件下，求两个都是女孩的概率。解析：设“至少有一个是女孩”为事件A，“两个都是女孩”为事件B。一个家庭两个孩子的所有可能情况有（男，男），（男，女），（女，男），（女，女），共n=4种。PA=34，PAB=1

7.独立事件概率的计算

题型示例：甲、乙两人独立地破译一份密码，已知甲破译的概率为0.6，乙破译的概率为0.5，求两人都能破译的概率。解析：设“甲能破译”为事件A，“乙能破译”为事件B，A与B相互独立。PA=0.6，PB=

8.独立重复试验与二项分布的应用

题型示例：某射手每次射击击中目标的概率是0.8，现连续射击3次，求恰好击中2次的概率。解析：设“射击一次击中目标”为事件A，则PA=0.8，连续射击3次可看作3次独立重复试验。根据二项分布概率公式，PX=2=

9.概率在实际问题中的综合应用（结合互斥、独立等）

题型示例：某商场举行抽奖活动，顾客从装有编号为0，1，2，3四个小球的抽奖箱中，每次取出1个小球，记下编号后放回，连续取两次。若取出的两个小球号码相加之和等于5，则中一等奖；若号码相加之和等于4，则中二等奖；若号码相加之和等于3，则中三等奖。求顾客中三等奖的概率；求顾客中奖的概率。解析：

基本事件总数n=4×4=16种。设“中三等奖”为事件A，两个小球号码相加之和等于3的情况有0,3，1,

设“中一等奖”为事件B，两个小球号码相加之和等于5的情况有2,3，3,2，共2种，PB=216=18；设“中二等奖”为事件C，两个小球号码相加之和等