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近世代数复习提纲

群论部分

一、基本概念

1、群的定义（四个等价定义）

2、基本性质

（1）单位元的唯一性；

（2）逆元的唯一性；

（3）；

（4）；

（5）；。

3、元素的阶

使成立的最小正整数叫做元素的阶，记作；若这样的正整数不存在，则称的阶是无限的，记作。

（1）。

（2）若，则

①；

②由可得。

（3）当群是有限群时，，有且。

（4），其中。

证明设。因为，所以。

另一方面，因为，所以，从而，又，所以，故。

注：1?，但若，且，则有（P70.3）。

2?；但。

例1令，则关于普通乘法作成群。显然，1是的单位元，所以，有，但。

二、群的几种基本类型

1、有限群：元素个数（即阶）有限的群，叫做有限群。

2、无限群：元素个数（即阶）无限的群，叫做无限群。

3、变换群：集合上若干一一变换关于变换乘法作成的群，叫做集合上的变换群。

（1）变换群的单位元是的恒等变换。

（2）的所有一一变换的集合关于变换的乘法作成上最大的变换群。

（3）一般地，变换群不是交换群。

（4）任一个群都与一个变换群同构。

4、置换群：有限集合上的一一变换叫做置换，若干置换作成的变换群叫做置换群。即有限集合上的变换群叫做置换群。

例2设是中元素，求。

解

（1）元集合的所有置换作成的置换群，叫做次对称群，记作。

（2）。

（3）每个元置换都可表示为若干个没有公共数字的循环置换的乘积。

（4）。

（5）任一有限群都与一个置换群同构。

5、循环群：若群中存在元素，使得，则称是循环群。

（1）循环群是交换群（P61.1）。

（2）素数阶群是循环群（P70.1）。

4?设且有一个是不变子群，则。

7、商群设，令，，定义

则它是的代数运算，叫做陪集的乘法。关于陪集的乘法作成群，叫做关于的商群。

当时，有。

四、群同态设是群到的同态满射，则

1、也是群；

2、；

3、；

4、；

5、；

6、；

7、；

8、；

9、；

10、。

注：若，则映射是到的同态满射，叫做自然同态。

环论部分

一、基本概念

1、环的定义

设是一个非空集合，“＋”与“。”分别是加法与乘法运算，若

（1）关于“＋”作成交换群（叫做加群）；

（2）关于“。”封闭；

（3），有；

（4），有

则称关于“＋”与“。”作成环。

2、基本性质

（1），；

（2）；

（3）；

（4）；

（5）；

（6）；

（7）；

（8）当是交换环时，，有

。

3、环的几种基本类型设是环

（1）交换环：，有。

例6（P89.2）

（2）有单位元环：存在，使得，有。

（3）无零因子环：，当时，。

注：无零因子环的特征：无零因子环中的非零元关于加法的阶，叫做的特征。

1?无零因子环的特征，或是或是素数；

2?当无零因子环的元素个数有限时，的特征整除。

（4）整环：有单位元无零因子的交换环。

（5）除环：有单位元，且非零元都有逆元。

（6）域：交换的除环。

二、两类特殊的环

1、模剩余类环：。

（1）是有单位元的交换环，且是的单位元；

（2），，则不是零因子?；

（3）无零因子?是素数；

（4），，则不是零因子?是可逆元；

（5）是域?是素数。

2、多项式环：。

例7（P109.2）

三、理想

1、定义：设是环的非空子集，若

（1），有；

（2），有。

则称是环的理想子环，简称理想。

注：1?理想一定是子环，但子环不一定是理想。

2?环的中心是子环，但未必是理想。

2、运算

（1）若是环的理想，则也是环的理想（可推广到任意多个情形）。

（2）若是环的理想，则未必是环的理想。

（3）若是环的理想，则也是环的理想。

（4）若是环的理想，则不是环的理想。

3、生成理想：设环的一个非空子集，则的所有包含的理想的交仍是的理想，这个理想叫做由的理想，记作。

（1）是的包含的最小理想。

（2）当时，记，叫做由生成的主理想。

1?当是交换环时，；

2?当是有单位元环时，；

3?当是有单位元的交换环环时，。

（3），记。且有

例8（P113.例3）

例9（P114.3）

4、最大理想：设是环的理想，且。若包含的环的理想，只有与，则称是环的最大理想（极大理想）。

（1）环的理想是最大理想?当的理想适合时，必有或。

（2）环的理想是最大理想?商环只有平凡理想。

（3）设是有单位元的交换环，则的理想是最大理想?商环是域。

例10（P119.1）

已知：。

求证：是域。

证明：因为是有单位元的交换环，所以，存在使得

所以，由此可见，当奇偶性相同时，同为偶数；当一奇一偶时，同为奇数。

反之，当的奇偶性相同时，取，就有

所以

且奇偶性相同}?

设是的理想，且，若，则存在，但，所以奇偶性不同，从而奇偶性相同，因而有

于是，因而，