特征值与特征向量的概念与计算.pptxVIP

5.1特征值与特征向量的概念与计算5.1.1.特征值与特征向量的定义5.1.2.特征子空间5.1.3.特征值与特征向量的计算

5.1.1特征值与特征向量的定义定义设A是n阶方阵，是方阵A的一个特征值，为方阵A的对应于特征值的一个特征向量.若存在数和n维非零列向量，使得成立，则称

例

设A2=A,证明：A的特征值为0或1.证例

5.1.2特征子空间

5.1.3特征值与特征向量的计算特征向量是齐次线性方程组(λI-A)X=0的解因此，(λI-A)X=0的解空间就是A的特征子空间

是关于的一个多项式，称为矩阵A的特征多项式,称为矩阵A的特征方程,定义特征方程记为f(λ)，特征值λ的重数称为λ的代数重数；特征值λ所对应的齐次线性方程组(λI-A)X=0的基础解系所含解向量的个数称为λ的几何重数，即特征值所对应线性无关特征向量的个数.定义

解第一步：写出矩阵A的特征方程，求出特征值.例求矩阵的特征值和全部特征向量.特征值为第二步：对每个特征值代入齐次线性方程组求非零解.

齐次线性方程组为当时，系数矩阵自由未知量令得基础解系常数)是对应于的全部特征向量.

齐次线性方程组为常数)是对应于的全部特征向量.得基础解系

解例

系数矩阵

重要结论：

特征值的代数重数大于等于它的几何重数.

(知道结论即可)01对角矩阵及三角矩阵的特征值为其主对角元.02

STEP03STEP04STEP01STEP02求数量矩阵的特征值和特征向量.解因此，所有n维非零向量都是此数量矩阵的特征向量，即特征向量可表示为例

例设矩阵A可逆,且解

STEP03STEP04STEP01STEP02例设为矩阵的特征值,求的特征值；若可逆，求的特征值.解

P1例P2解

解例

定理设n阶方阵的n个特征值为则称为矩阵A的迹.（主对角元素之和）注A可逆的条件.

证明

设A为3阶方阵,A的特征值分别为-1、4、2,求01例02解