专题71空间几何体的表面积与体积【真题模拟题】.docx

【专题7.1几何体的表面积与体积】

总览题型

总览

题型梳理

一．考情分析

考点要求

考题统计

考情分析

1.认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构。

2.能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二测法画出它们的直观图。

3.会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式。

4.理解柱、锥、台、球的表面积与体积的计算公式，能运用公式计算一些简单组合体的表面积和体积。

5.会利用割补法、等体积法等数学方法求一些不规则几何体的体积。

6.能根据几何体的三视图或直观图，求几何体的表面积或体积，以及解决与之相关的一些实际问题。

7.能运用空间几何体的表面积与体积公式，结合相关几何知识，解决一些与最值、范围有关的问题。

2024年

新课标Ⅰ卷：未明确单独考查该知识点，可能融合在其他立体几何综合题中。

甲卷：理科第14题，5分。

天津卷：第9题，5分。

2023年

新课标Ⅰ卷：第12题，5分；第14题，5分，共10分。

乙卷：理科第8题，5分。

甲卷：文科第10题，5分。

天津卷：第8题，5分。

1.考查题型与分值：题型以选择题、填空题为主，偶尔在解答题中有所涉及。选择题、填空题一般每题分值为5分，在新高考中，若考查两个小题，占比分值约为10分；若考查一个小题和一个解答题，占比分值约为18分22分。

2.命题热点：空间几何体的结构特征、表面积和体积的计算是命题热点，主要考查柱、锥、台、球及简单组合体的相关计算。

3.能力要求：要求考生具备较强的空间想象能力、计算能力，能用转化与化归的思想解题，通过对空间几何体的表面积与体积的计算，考查直观想象能力与数学运算能力。

4.综合考查：常与空间点、线、面的位置关系等知识综合考查，在解答题中，可能会先证明线面关系、面面关系，再涉及几何体表面积或体积的计算。

5.难度分析：选择题、填空题难度中等，若出现在解答题中，通常属于中等偏上难度

二：知识讲解与题型分类

【题型一：圆锥的表面积与体积】

【知识讲解】

圆锥的定义

以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆锥。旋转轴叫做圆锥的轴，垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆锥的底面，不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆锥的侧面，这条边无论旋转到什么位置，都叫做圆锥侧面的母线。

圆锥的表面积

计算公式：。其中是底面半径，是母线长。

公式推导：圆锥的表面积由侧面积和底面积组成。圆锥的侧面展开图是一个扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，半径为圆锥的母线长。根据扇形面积公式（这里为弧长，为半径），可得圆锥侧面积为。圆锥的底面积为，所以圆锥的表面积。

圆锥的体积

计算公式：，其中是底面半径，是圆锥的高。

公式推导：可以通过实验法或积分法来推导圆锥体积公式。实验法通常是用等底等高的圆柱和圆锥容器，将圆锥容器装满水倒入圆柱容器中，会发现三次刚好倒满，所以圆锥体积是等底等高圆柱体积的，而圆柱体积，故圆锥体积。

圆锥相关元素的关系

圆锥的高、底面半径和母线构成直角三角形，满足勾股定理。通过这个关系，已知其中两个量，就可以求出第三个量，进而计算圆锥的表面积和体积。

例题精选

例题精选

【例题1】（2025·黑龙江·一模）已知圆锥的轴截面是一个斜边长为的等腰直角三角形，则圆锥的表面积为（???）

A． B． C． D．

【例题2】（2025·四川自贡·二模）已知圆锥的母线长是底面半径的2倍，则该圆锥的侧面积与表面积的比值为（???）

A． B． C． D．2

【例题3】（2025·山西临汾·二模）已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为个圆，则该圆锥的母线长为（????）

A．4 B． C． D．

相似练习

相似练习

【相似题1】（2025·河北·三模）已知底面半径为的圆锥其轴截面面积为，过圆锥顶点的截面面积最大值为，若，则该圆锥的侧面积为（????）

A． B． C． D．

【相似题2】（2025·吉林长春·二模）如图，过圆锥的轴的截面边长为4的正三角形，过的中点作平行于底面的截面，以截面为底面挖去一个圆柱，则余下几何体的表面积为（???）

A． B． C． D．

【相似题3】（2025·北京·模拟预测）已知某圆锥高，轴截面为等腰直角三角形，则其侧面积，体积.

【相似题4】（2425高二下·上海·阶段练习）将一斜边长为2的等腰直角三角形以其一直角边所在直线为旋转轴旋转一周，所形成的几何体的侧面积为．

【题型二：圆柱的表面积与体积】

【知识讲解】

圆柱的定义

以矩形的一边所在直线为旋转轴，其