导数专题02：利用导数研究恒(能)成立问题+讲义-2025届高三数学三轮冲刺.docx

导数专题02：利用导数研究恒(能)成立问题讲义——高三数学2025届三轮冲刺高频考点复习整合

一、核心考点概述

恒成立问题：

定义：若不等式fx≥gx（或

等价转化：

fx≥gx

fx≤gx

能成立问题：

定义：若存在x0使得fx0

等价转化：

fx≥gx

fx≤gx

导数的作用：

求最值：通过导数分析函数的单调性，确定极值点，进而求出最值。

分类讨论：根据参数的取值范围，分情况讨论函数的性质。

二、6大题型精讲

题型1：分离参数法求恒成立问题

步骤：

将不等式中的参数分离到一侧，转化为求函数最值问题。

利用导数求出函数的最值，进而确定参数的取值范围。

例题1：已知fx=ex?ax?1，若f

不等式化为a≤ex

求导得g′x=exx?

?x在0,+∞上单调递增，且?0=0

limx→0

题型2：等价转化法求恒成立问题

步骤：

将不等式转化为函数最值问题，直接求函数的最值。

根据最值关系确定参数的取值范围。

例题2：已知fx=x2?2ax+lnx，若f

不等式化为2a≤x+

求导得g′x=x2

?x在0,12上单调递减，在12,+∞上单调递增，且

limx→0+gx=?∞，limx→+∞

题型3：双变量恒成立问题

步骤：

将不等式转化为关于一个变量的函数，求该函数的最值。

根据最值关系确定参数的取值范围。

例题3：已知fx=?x2+ax+1，gx=

不等式化为fx

fx在[1,

g′x=3x2+

当a≥?3e2时，gx在

不等式化为?e2+

题型4：存在性问题

步骤：

将不等式转化为存在性问题，求函数的最大值或最小值。

根据存在性条件确定参数的取值范围。

例题4：已知fx=lnx?ax，若存在x∈1,+∞

不等式化为lnx?a

求导得g′

当a≤0时，g′x

当a0时，gx在1

若1a≤1（即a≥1），则g

若1a1（即0a1

综上，a≥

题型5：恒成立与能成立的综合问题

步骤：

分别分析恒成立和能成立的条件。

结合两者的关系确定参数的取值范围。

例题5：已知fx=x2?2ax+1，gx=x2+ax

fx≥0恒成立?

存在x0使得gx0≤0?

结合两者，无解。

题型6：复杂函数的最值问题

步骤：

通过换元法或构造新函数简化问题。

利用导数求新函数的最值。

例题6：已知fx=ex?x2?ax，若对任意

不等式化为a≤ex

求导得g′x=x?

?x在?∞,0上单调递减，在0,+∞上单调递增，且?

gx在?∞,0和0,1上单调递减，在1,+∞

故a≤

三、解题策略与技巧

分离参数法：

适用于参数与变量可分离的不等式。

需注意分离后的函数是否易于求最值。

等价转化法：

适用于不等式可转化为函数最值问题的情况。

需准确判断函数的最值。

分类讨论法：

适用于参数取值范围影响函数性质的情况。

需合理划分参数的取值范围。

换元法：

适用于复杂函数，通过换元简化问题。

需注意新变量的取值范围。

四、易错点剖析

分离参数时忽略定义域：

例如，分离参数后需考虑分母不为零的情况。

求最值时忽略端点：

例如，闭区间上的最值需比较端点值与极值。

分类讨论时漏解：

例如，参数取值范围划分不完整。

计算错误：

例如，求导时符号错误或计算错误。

五、典型例题解析

例1：已知fx=lnx?ax，若对任意x∈0,+∞

不等式化为a≥lnx

求导得g′x=1?ln

gx在0,e上单调递增，在e

故a≥

例2：已知fx=ex?ax2，若存在x

不等式化为a≥ex

求导得g′x=ex

gx在0,2上单调递减，在2

故a≥

六、强化训练

恒成立问题：

已知fx=x2?2ax+

能成立问题：

已知fx=lnx?ax，若存在x

双变量问题：

已知fx=x2?ax+1，

综合问题：

已知fx=ex?x2?ax，若对任意x

总结：利用导数研究恒(能)成立问题是高考的热点，需熟练掌握分离参数法、等价转化法、分类讨论法等技巧。通过专项训练，提升解题速度与准确性。