必威体育精装版北师大版九年级下册数学 第一章 直角三角形的边角关系 教案（最全）.pdf

1.1锐角三角函数

第1课时正切与坡度

1.理解正切的意义，并能举例说明；（重点）

2.能够据正切的概念进行简单的计算；（重点）

3.能运用正切、坡度解决问题.（难点）

曜欲程

一、情境导入

观察与思考：

某体育馆为了方便不同需求的观众，设计了不同坡度的台阶.

问题1：图①中的台阶哪个更陡？你是怎么判断的？

问题2：如何描述图②中台阶的倾斜程度？除了用ZA的大小来描述，还可以用什么方

法？

方法一：通过测量BC与AC的长度算出它们的比，来说明台阶的倾斜程度；

方法二：在台阶斜坡上另找一点B,测出BC与AC的长度，算出它们的比，也能说

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明台阶的倾斜程度.

你觉得上面的方法正确吗？

二、合作探究

探究点一：正切

［类型_］据正切的概念求正切值

初1分别求出图中ZAZB的正切值（其中ZC=90°）.

由上面的例子可以得出结论：直角三角形的两个锐角的正切值互为.

解析：据勾股定理求出需要的边长，然后利用正切的定义解答即可.

解：如图①，tanZA=；；=；,tanZB=；；=：；如图②，BC=］732—552=48,tanZA=

®tanZB=—.

55，48

因而直角三角形的两个锐角的正切值互为倒数.

方法总结：求锐角的三角函数值的方法：利用勾股定理求出需要的边长，据锐角三角

函数的定义求出对应三角函数值即可.

变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第1题

［类型二］在网格中求二切值

已知：如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，点A、B、C、D、E都在小

正方形的顶点上，求tanZADC的值.

解析：先证明△ACD^ABCE，再据tanZADC=ta*BEC即可求解.

解：据题意可得AC=BC=《2+22=CD=CE=V12+32=V10,AD=BE=5,

..AACD^ABCE(SSS).AZADC=ZBEC./.tanZADC=tanZBEC=J.

方法总结：三角函数值的大小是由角度的大小确定的，因此可以把求一个角的三角函数

值的问题转化为另一个与其相等的角的三角函数值.

变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第3题

【类型三】构造直角三角形求三角函数值

如图，在RtAABC中，ZC=90°,BC=AC,D为AC的中点，求tanZABD的

值.

解析：设AC=BC=2a,据勾股定理可求得AB=巫a,再据等腰直角三角形的性

质，可得DE与AE的长，据线段的和差，可得BE的长，据正切三角函数的定义，可

得答案.

解：如图，过D作DEXAB于E.设AC=BC=2a,据勾股定理得AB=2由a.由D为

AC中点，得AD=a.由NA二ZABC=45°，又DEXAB,得AADE是等腰直角三角形，Z.

皿aDE1

DE=AE=9./.BE=AB—AE=9,tanZABD=口匚=^.

ZZDt3

方法总结：求三角函数值必须在直角三角形中解答，当所求的角不在直角三角形内时,

可作辅助线构造直角三角形进行解答.

变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第7题

探究点二：坡度

［类型_］利用坡度的概念求斜坡的坡度（坡比）

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堤的横断面如图.堤高BC是5米，迎水斜坡AB的长是13米，那么斜坡AB的

坡度是