离散时间线性非时变系统与差分方程.pptxVIP

2.4离散时间线性非时变系统与差分方程离散系统的定义离散系统在数学上定义为将输入序列x(n)映射成输出序列y(n)的惟一性变换或运算。亦即将一个序列变换成另一个序列的系统，记为y(n)=T［x(n)］通常将上式表示成图2-20所示的框图。

图2-20离散系统的模型

离散线性非移变系统及卷积运算(1)系统的线性特性满足叠加原理的系统具有线性特性，即若对两个激励x1(n)和x2(n)有注意：齐次性叠加性

例:设一系统的输入输出关系为y[k]=x2[k]试判断系统是否为线性？解：输入信号x[k]产生的输出信号T{x[k]}为T{x[k]}=x2[k]输入信号ax[k]产生的输出信号T{ax[k]}为T{ax[k]}=a2x2[k]除了a=0,1情况，T{ax[k]}?aT{x[k]}。故系统不满足线性系统的的定义，所以系统是非线性系统。

例??y(n)＝T[x(n)]=5x(n)+3所表示的系统不是线性系统。计算T[ax1(n)+bx2(n)]=5[ax1(n)+bx2(n)]+3，而ay1(n)+by2(n)＝5ax1(n)+5bx2(n)+3(a+b)

系统的非移变特性时不变(Time-Invatiance)系统的非移变是指系统的参数不随时间而变化。用数学表示为T［x(n－n0)］=y(n－n0)即不管输入信号作用的时间先后，输出信号响应的形状均相同，仅是出现的时间不同，如图2-22所示。

图2-22离散系统的非移变特性

在n表示离散时间的情况下，“非移变”特性就是“非时变”特性。例：??证明y(n)＝T[x(n)]＝nx(n)不是非移变系统。计算：T[x(n-k)]=nx(n-k)，而y(n-k)=(n-k)x(n-k)。32145

解：输入信号x[k]产生的输出信号y[k]为 y[k]=T{x[k]}=x[Mk]输入信号x[k-n]产生的输出信号T{x[k-n]}为 T{x[k-n]}=x[Mk-n]由于x[Mk-n]?y[k-n]故系统是时变的。例:已知抽取器的输入和输出关系为 y[k]=x[Mk]试判断系统是否为时不变的？

抽取器时变特性的图示说明

线性非移变系统：线性时不变系统，简称为：LTI线性非移变系统就是既满足迭加原理又具有非移变特性的系统，将其描绘如图2-24所示。图2-24线性非移变系统模型单位取样响应

定义：例：累加器:单位脉冲（取样）响应

（Impulseresponse）

LTI系统对任意输入的响应

当任意输入x(n)用前式表示时，则系统输出为因为系统是线性非移变的，所以

通常把上式称为离散卷积或线性卷积。这一关系常用符号“*”表示：

离散卷积满足以下运算规律：交换律

(2)结合律

(3)分配律

计算线性卷积有4种方法。线性卷积（离散卷积）的计算利用两个序列的移位求和，即先把一个序列倒置。每次将它向下移一步，求出两序列重叠部分乘积之和。利用两个序列的解析式直接计算。用作图法求。卷积的Matlab实现

离散卷积的计算

计算卷积的步骤如下：????(1)折叠：先在哑变量坐标轴k上画出x(k)和h(k)，将h(k)以纵坐标为对称轴折叠成h(-k)。????(2)移位：将h(-k)移位n，得h(n-k)。当n为正数时，右移n；当n为负数时，左移n。????(3)相乘：将h(n-k)和x(k)的对应取样值相乘。????(4)相加：把所有的乘积累加起来，即得y(n)。上图为：与的线性卷积。

计算线性卷积时，一般要分几个区间分别加以考虑，下面举例说明。例??已知x(n)和h(n)分别为：和试求x(n)和h(n)的线性卷积。解??参看图2.15，分段考虑如下：(1)对于n0：(2)对于0≤n≤4：(3)对于n4，且n-6≤0，即4n≤6时：(4)对于n6，且n-6≤4，即6n≤10时：(5)对于(n-6)4，即n10时：

综合以上结果，y(n)可归纳如下：

卷积结果y(n)如图2.16所示

则 ｜y(n)｜＜∞对于一切n如果 ｜x(n)｜＜∞对于一切n对于一个系统，当输入序列是有界时，其输出也是有界的，则称它是稳定系统。用数学描述则为稳定性系统的稳定性与因果性

01因为02其中假设｜x(n)｜≤M。

01一个系统如果其输出变化不会发生在输入变化之前，则称它是因果的。这就是说对于因果系统，如果取n0,当nn0时，x1(n)=x2(n),则nn0时，y1(n)=y2(n)。一个线性非移变系统当n0时的因果充要条件是其单位取样响应等于零,即h(n)=0 n002这个充要条件可