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2.1函数的三要素

考向1函数的定义域

题型1定义域的基本限制

（1）分式中的分母不为0；

（2）偶次方根下的数（或式）大于或等于0；

（3）零指数幂的底数不为0；

（4）指数式的底数大于0且不等于1；

（5）对数式的底数大于0且不等于1，真数大于0；

（6）正切函数且，．

注：定义域需用区间或集合的形式写出．

【例1】（2020?北京）函数的定义域是．

【例2】函数的定义域为

A．， B．，， C． D．，，

【例3】已知函数的定义域为，则实数的取值范围是

A．， B． C．，， D．

跟踪训练

【训练1】函数的定义域为

A． B．， C． D．，

【训练2】已知函数，则函数的定义域为

A．， B．，， C．， D．，，

【训练3】已知函数的定义域是，则的取值范围是

A． B． C． D．

题型2抽象函数的定义域

此类型题目最关键的就是同一对应法则下的定义域不变，若的定义域为，则中的解的范围，即为的定义域．

【例1】已知函数的定义域为，，则函数的定义域为

A．， B．， C． D．

【例2】已知函数的定义域为，则函数的定义域为

A． B． C． D．

【例3】函数的定义域为，则函数的定义域为

A． B．，，

C．，， D．，

跟踪训练

【训练4】已知函数的定义域是，，则函数的定义域是

A． B．，，

C．， D．

【训练5】已知函数的定义域为，，则函数的定义域为

A．， B．， C．， D．，，

考向2函数的解析式

题型1换元法

换元法：也称变量替换或辅助元素法，在使用换元法时，一定要根据定义域确定所换“新元”的取值范围．

【例1】若函数满足，求函数的解析式；

【例2】已知，求的解析式并注明定义域；

题型2待定系数法

待定系数法：解决某些问题时，常用一些字母来表示需要确定的系数，根据一些条件或要求来确定这些系数，从而解决问题，这样的思维方法叫作待定系数法．

【例3】若一次函数满足，求的函数解析式；

【例4】已知是二次函数，且，求的讲解析式．

题型3方程组消元法

方程组消元法：根据不同形式的变量之间的关系，利用变换形式构造不同的等式，通过解方程组求解．

【例5】已知函数满足，求的解析式；

【例6】已知函数满足，求的解析式；

题型4赋值法

赋值法：对于自变量多于一个的函数方程，将其中一个或几个自变量用一些特殊值代入原方程，从而简化方程，达到求解的目的．

【例7】若函数对任意实数，均有，

则的解析式为．

跟踪训练

【训练1】已知二次函数满足且，求的解析式．

【训练2】已知是奇函数，是偶函数，并且，求和的函数解析式．

【训练3】已知函数满足，则．

【训练4】若定义在上的函数，满足，且对任意，，

都有，则．

考向3函数的值域

题型1求值域的基本方法

（1）配方法：与二次函数有关的函数（注意定义域）；

（2）换元法：形如的函数，即设，转化成二次函数再求值域（注意）；

（3）分离常数法：形如的函数可借助反比例函数求其值域，且值域为；

（4）单调性法：将函数分为两部分，如果单调性一致，可根据定义域求解其值域；

（5）基本不等式法：当函数可化为对勾函数模型时，可借助基本不等式求解其值域．

【例1】求下列函数的值域：

（1）；（2）；（3）；（4）．

【例2】求下列函数的值域：（1）；（2）的值域．

跟踪训练

【训练1】分别求下列函数的值域：

（1）；（2）；（3）；（4）．

【训练2】函数的值域为．

【训练3】函数的值域是．

题型2数形结合法求值域

其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式、直线斜率等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目．适用于函数本身可和其几何意义相联系的函数类型．

【例1】求函数的值域．

【例2】求函数的值域．

【例3】求函数的值域．

跟踪训练

【训练4】求函数的值域

【训练5】求函数的值域．

【训练6】求函数的值域．

题型3值域与求参问题

【例1】（多选）若函数的定义域为，，值域为，，则实数的值可能为

A．2 B．3 C．4 D．5

【例2】已知函数的值域为[)，则的取值范围是．

【例3】定义：，，那么对于，，设函数，，则（用分段函数表示）；函数的值域为．

跟踪训练

【训练7】已知函数在，上的值域是，，则的最大值是

A．3 B．6 C．4 D．8

【训练8】函数，且，若的值域为，，则的取值范围是

A．， B．， C．， D．，

【训练9】若定义运算，则函数的值域为

A．， B．， C．， D．

拓展思维

拓展1高斯函数

定义在全体实数集的函数，而函数值是离散的，这个函数即为取整