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高级中学名校试题

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辽宁省大连市2023-2024学年高一下学期7月期末考试

数学试题

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1.已知复数满足，则（）

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】根据题意，.

故选：D.

2.已知，则的值为（）

A. B.3 C. D.

【答案】B

【解析】，.

故选：B.

3.已知圆锥的底面半径是1，高为，则圆锥的侧面积是（）

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】因为圆锥的底面半径是1，高为，所以圆锥的母线长为，

所以圆锥的侧面积为.

故选：D.

4.下列四个函数中，以为最小正周期，且为奇函数的是（）

A. B.

C. D.

【答案】B

【解析】对A，，其定义域为，设，

因为，故其为偶函数，故A错误；

对B，，其定义域为，设，

则，则其为奇函数，且最小正周期为，

故B正确；

对C，，其最小正周期为，故C错误；

对D，，其最小正周期为，故D错误.

故选：B.

5.将函数图象上的所有点向右平移个单位，得到函数的图象，则图象的一条对称轴为（）

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】根据题意，，

令，得，

当时，.

故选：A.

6.设，是两个不重合平面，，是两条不重合直线，则（）

A.若，，则 B.若，，则

C.若，，，则 D.若，，，则

【答案】C

【解析】对A，若，，则或与异面，故A错误；

对B，若，，则与可能相交、平行或，故B错误；

对C，若，，则，又因为，则，故C正确；

对D，若，，，当都与的交线平行时，满足题设条件，

此时，故D错误.

故选：C.

7.已知平面直角坐标系内点，为原点，线段绕原点按逆时针方向旋且长度变为原来的一半，得到线段，若点的纵坐标为，则（）

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】线段中点纵坐标为，则点在第二象限，而，

则有点的横坐标为，

点在角的终边上，则点在角的终边上，

，，

所以.

故选：A.

8.已知中，，，，为所在平面内一点，，则的最小值为（）

A. B. C.0 D.

【答案】D

【解析】在中，，由，

得，

则，即，

以点为原点，射线分别为轴建立平面直角坐标系，

则，设，，，

由，得，解得，

，

当且仅当时取等号，所以的最小值为.

故选：D.

二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）

9.已知复数，，则下列说法正确的是（）

A.若，则的共轭复数为

B.若为纯虚数，则

C.若，则

D.

【答案】ABD

【解析】对A，根据共轭复数的概念知的共轭复数为，故A正确；

对B，若为纯虚数，则，解得，故B正确；

对C，举例，满足，但，故C错误；

对D，设，，其中，

则，

则，

，

所以.

故选：ABD.

10.已知角的顶点与坐标原点重合，角的始边落在轴的正半轴上，如果是角终边上不同于坐标原点的任意一点，记，当角的终边不在轴上时，称为角的正割，记作.则下列说法正确的是（）

A.

B.函数的最小正周期为，其图象的对称轴为

C.（其中和的取值使各项都有意义）

D.在锐角中，角，，的对边分别为，，，则

【答案】AC

【解析】依题意，，当时，，

对于A，，A正确；

对于B，函数，的最小正周期为，

其图象的对称轴为，B错误；

对于C，，C正确；

对于D，由余弦定理得

，D错误.

故选：AC.

11.如图，正三棱台的上、下底面边长分别为1和3，侧棱长为2，则下列说法正确的是（）

A.该三棱台的体积为

B.若过点的平面与平面平行，则平面截该三棱台所得的截面面积为

C.若点在棱上，则的最小值为

D.该三棱台内半径最大球的体积为

【答案】BC

【解析】对于A，正三棱台中，取上、下底面的中心，连接，

则，高，

三棱台的体积，A错误；

对于B，在上分别取点，使，连接，

而，则四边形均为平行四边形，

即，，

而平平面，平面，则平面，

同理平面，

又，因此为平面截该三棱台所得的截面，

而，又，则为正三角形，，

截面面积，B正确；

对于C，把等腰梯形与展开置于同一平面，连接，

由选项B知，等腰底边，

而边的中点到点的距离，

因此当点为线段与的交点时，的最小值为，C正确；

对于D，体积为的球半径，，解得，该球的直径，

则此球不可能在正三棱台内，D错误.

故选：BC.

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共15分.其中第14题第一空2分，第二空3分.）

12.已知向量，，若，则实数___