6.1 平面向量的概念（解析版）.docx

6.1平面向量的概念

【知识点梳理】

知识点一：向量的概念

1．向量：既有大小又有方向的量叫做向量．

2．数量：只有大小，没有方向的量（如年龄、身高、长度、面积、体积和质量等），称为数量。

知识点诠释：

（1）本书所学向量是自由向量，即只有大小和方向，而无特定的位置，这样的向量可以作任意平移。

（2）看一个量是否为向量，就要看它是否具备了大小和方向两个要素。

（3）向量与数量的区别：数量与数量之间可以比较大小，而向量与向量之间不能比较大小。

知识点二：向量的表示法

1．有向线段：具有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素：起点、方向、长度。

2．向量的表示方法：

(1)字母表示法：如等．

(2)几何表示法：以A为始点，B为终点作有向线段（注意始点一定要写在终点的前面）。如果用一条有向线段表示向量，通常我们就说向量．

知识点诠释：

（1）用字母表示向量便于向量运算；

（2）用有向线段来表示向量，显示了图形的直观性。应该注意的是有向线段是向量的表示，不是说向量就是有向线段。由于向量只含有大小和方向两个要素，用有向线段表示向量时，与它的始点的位置无关，即同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量。

知识点三：向量的有关概念

1．向量的模：向量的大小叫向量的模(就是用来表示向量的有向线段的长度)．

知识点诠释：

（1）向量的模。

（2）向量不能比较大小，但是实数，可以比较大小。

2．零向量：长度为零的向量叫零向量．记作，它的方向是任意的。

3．单位向量：长度等于1个单位的向量．

知识点诠释：

（1）在画单位向量时，长度1可以根据需要任意设定；

（2）将一个向量除以它的模，得到的向量就是一个单位向量，并且它的方向与该向量相同。

4．相等向量：长度相等且方向相同的向量．

知识点诠释：

在平面内，相等的向量有无数多个，它们的方向相同且长度相等。

知识点四：向量的共线或平行

方向相同或相反的非零向量，叫共线向量(共线向量又称为平行向量)．

规定：与任一向量共线．

知识点诠释：

1．零向量的方向是任意的，注意与0的含义与书写区别．

2．平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系．

3．共线向量与相等向量的关系：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定是相等的向量。

【典型例题】

类型一：向量的基本概念

例1．给出如下命题：

①向量的长度与向量的长度相等；

②向量与平行，则与的方向相同或相反；

③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；

④两个公共终点的向量，一定是共线向量；

⑤向量与向量是共线向量，则点，，，必在同一条直线上．

其中正确的命题个数是（）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】B

【解析】

对于①，向量与向量，长度相等，方向相反，故①正确；

对于②，向量与平行时，或为零向量时，不满足条件，故②错误；

对于③，两个有共同起点且相等的向量，其终点也相同，故③正确；

对于④，两个有公共终点的向量，不一定是共线向量，故④错误；

对于⑤，向量与是共线向量，点，，，不一定在同一条直线上，故⑤错误．

综上，正确的命题是①③．

故选：B．

例2．给出下列四个命题：①若，则；②若，则或；③若，则；④有向线段就是向量，向量就是有向线段；其中，正确的命题有（）

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

【答案】A

【解析】

①若，则，故错误；

②若，即向量的长度相等，但方向不一定相同或相反，故错误；

③若，即向量共线，它们的模长不一定相等，故错误；

④有向线段是几何图形，而向量是数学概念，可以用有向线段表示，故错误；

故选：A

变式1．给出下列命题：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则.其中正确命题的个数是（）

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】C

【解析】

解：因为，则向量互为相反向量，所以，故①正确；

因为向量不能比较大小，故②错误；

若，则向量方向相同，故③正确；

当时，向量的方向不能确定，故④错误.

所以正确命题的个数是2个.

故选：C.

变式2．下列叙述中错误的是（）

A．若，则

B．已知非零向量与且，则与的方向相同或相反

C．若，则

D．对任一非零向量是一个单位向量

【答案】AC

【解析】

对于A：因为向量不能比较大小，故选项A不正确；

对于B：因为与是非零向量，若，则与的方向相同或相反，故选项B正确；

对于C：当时，若，与是任意向量；故选项C不正确；

对于D：对任一非零向量，表示与方向相同且模长为的向量，所以是的一个单位向量，故选项D正确；所以叙述中错误的是AC，故选：AC.

类型二：向量的表示方法

例3．如图，和是在各边的三等分点处相交的两个全等的正三角形，设的边长为a，写出图中给出的长度为的所有向量中，

（1）与