2025年二次根式知识点总结大全我.doc

二次根式

1.二次根式：式子（≥0）叫做二次根式。

2.最简二次根式：必须同步满足下列条件：

⑴被開方数中不含開方開的尽的因数或因式；⑵被開方数中不含分母；⑶分母中不含根式。

3.同类二次根式：

二次根式化成最简二次根式後，若被開方数相似，则這几种二次根式就是同类二次根式。

4.二次根式的性质：

（＞0）（＜0）0（=0）；（1）（）2=（

（＞0）

（＜0）

0（=0）；

5.二次根式的运算：

（1）因式的外移和内移：假如被開方数中有的因式可以開得尽方，那么，就可以用它的算术根替代而移到根号外面；假如被開方数是代数和的形式，那么先解因式，变形為积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方後移到根号裏面．

（2）二次根式的加減法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式．

（3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被開方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被開方数并将运算成果化為最简二次根式．

=·（a≥0，b≥0）；（b≥0，a0）．

（4）有理数的加法互换律、結合律，乘法互换律及結合律，乘法對加法的分派律以及多项式的乘法公式，都合用于二次根式的运算．

【經典例題】

1、概念与性质

例1下列各式1），

其中是二次根式的是_________（填序号）．

例2、求下列二次根式中字母的取值范围

（1）；（2）

例3、在根式1)，最简二次根式是（）

A．1)2)B．3)4)C．1)3)D．1)4)

例4、已知：

例5、（龙岩）已知数a，b，若=b－a，则(??)

A.ab???????B.ab??C.a≥b??????????D.a≤b

2、二次根式的化简与计算

例1.将根号外的a移到根号内，得(??)

A.；??B.－；?????C.－；?????D.

例2.把（a－b）eq\r(－\f(1,a－b))化成最简二次根式

例3、计算：

例4、先化简，再求值：

，其中a=，b=．

例5、如图，实数、在数轴上的位置，化简：

3、在实数范围内分解因式

例.在实数范围内分解因式。（1）；????????????????（2）

4、比较数值

（1）、根式变形法

當時，=1\*GB3①假如，则；=2\*GB3②假如，则。

例1、比较与的大小。

（2）、平措施

當時，=1\*GB3①假如，则；=2\*GB3②假如，则。

例2、比较与的大小。

（3）、分母有理化法

通過度母有理化，运用分子的大小来比较。

例3、比较与的大小。

（4）、分子有理化法

通過度子有理化，运用分母的大小来比较。

例4、比较与的大小。

（5）、倒数法

例5、比较与的大小。

（6）、媒介传递法

合适选择介于两個数之间的媒介值，运用传递性進行比较。

例6、比较与的大小。

（7）、作差比较法

在對两数比较大小時，常常运用如下性质：

=1\*GB3①；=2\*GB3②

例7、比较与的大小。

（8）、求商比较法

它运用如下性质：當a0，b0時，则：

=1\*GB3①；=2\*GB3②

例8、比较与的大小。

5、规律性問題

例1.观测下列各式及其验证過程：

?，验证：；

验证:.

（1）按照上述两個等式及其验证過程的基本思绪，猜测的变形成果，并進行验证；

（2）针對上述各式反应的规律，写出用n(n≥2，且n是整数)表达的等式，并給出验证過程.

例2.已知，则a_________

发展：已知，则a______。

例3、化简下列各式：

（1）（2）

例4、已知ab0，a+b=6，则的值為（）A．B．2C．D．

例5、甲、乙两個同學化简時，分别作了如下变形：

甲：==；

????乙：=。其中，（?）。

A.甲、乙都對的???????????????????B.甲、乙都不對的C.只有甲對的????????????????D.只有乙對的

【基础训练】

1．化简：（1）____；（2）_____；（3）____；

（4）____；（5）。

2.(08，安徽)化简=_________。

3.（08，武汉）计算的成果是

Ａ.2Ｂ．±2Ｃ．-2Ｄ．4

4.化简：

（1）（08，泰安）的成果是；（2）的成果是；