高考数学复习讲义：微专题8　球的切接问题.pdfVIP

微专题8球的切接问题

空间几何体的外接球、内切球是高中数学的重点、难点，也是高考命题的热点，一般是通过对几何体的割补或寻

找几何体外接球的球心求解外接球问题，利用等体积法求内切球半径等，一般出现在压轴小题位置．

考点一空间几何体的外接球

例1(1)(2023·开封模拟)已知正方体ABCD－ABCD的棱长为1，P为棱AD的中点，则四棱锥P－ABCD外接球的

111111

表面积为()

3π41π41π

A.B．3πC.D.

21664

答案C

解析设四棱锥P－ABCD的外接球球心为O，取AD的中点E，连接PE，取△PAD、四边形ABCD的外心O，O，

12

连接OO，OO，EO，OC，OC，

1222

因为正方体的棱长为1，P为棱AD的中点，

11

15

2

所以PA＝PD＝1＋＝，

2

2

2

PE＝1，OC＝，

22

12

sin∠PAD＝sin∠APA1＝＝，

55

2

5

1PD125

OP＝·＝×＝，

12sin∠PAD228

5

53

OE＝OO＝1－＝，

1288

32

2222

所以OC＝OO＋OC＝＋

228

2



4141241π

＝，外接球的表面积S＝4π×＝.

8816

(2)(2023·全国乙卷)已知点S，A，B，C均在半径为2的球面上，△ABC是边长为3的等边三角形，SA⊥平面ABC，则

SA＝________.

答案2

解析如图，将三棱锥S－ABC转化为直三棱柱SMN－ABC，设△ABC的外接圆圆心为O，半径为r，

1

AB3

则2r＝＝＝23，可得r＝3，

sin∠ACB3