【《试论常微分方程解的存在唯一性定理及其应用》6500字（论文）】 .pdf

试论常微分方程解的存在唯一性定理及其应用

目录

前言1

1预备知识2

2解的存在唯一性定理的证明3

2.1解的存在唯一性定理3

2.2解的存在唯一性定理的证明5

2.3利普希茨条件与解的存在唯一性12

3解的存在唯一性定理的应用13

3.1判断解的存在性与唯一性13

3.2确定解的存在区15

3.3近似计算和误差估计17

4总结与展望20

4.1论文总结20

4.2进一步的研究工作错误!未定义书签。

参考文献22

摘要：解的存在唯一性定理是常微分方程理论中最基本的定理，它的应用非常广

泛，可用于判断解的存在与唯一性，确定解的存在区，进行近似计算.本文首先介

绍并证明解的存在唯一性定理，其次分析利普希茨条件与解的存在唯一性的关系，然

后从解的存在性与唯一性、解的存在区、近似计算与误差估计三个方面进行阐述其

应用.

关键词：常微分方程；解的存在唯一性定理；近似计算；误差估计

刖吕

目前，很少有微分方程能够获取到精确解，此类方程的近似解法具有非常重要的

现实意义，如数值解法等，近似计算离不开解的存在与唯一要求.假设唯一但没有

解，则代表对问题实行近似求解不存在意义和价值；假设有解，然而不满足唯一要

求，那就无法确定具体解的对象，想要尽可能的与之近似，很难明确问题，要求具备

解且符合唯一性在解的存在唯-性定理中体现，可以将其看作近似求解法的的基础，也

是重要前提.对于求近似解的方法，在定理的证明中就有所体现，由此可见唯一性定

理对求近似解的重要意义.

本文运用逐步逼近法、压缩映射原理以及邵德尔不动点定理在前人的基础上对解

的存在唯一性定理进行证明.在此之前，有许多人曾对解的存在唯一性进行了证明，

但他们大多都只运用了逐步逼近法进行证明，这种方法相对于另外两种方法从内容上

看较为简单些，理解起来也较为容易，但其过程繁多，这就需要不断进行探究，寻找

其他方法.通过对文献的研究，将其与泛函分析的知识联系在一起，运用其中的压缩

映射原理、邵德尔不动点定理等相关知识加以证明，这种方法虽然过程相对逐步逼近

法大大减少，但理解起来较为困难.通过对这几种方法的了解、学习，在前人结晶的

基础上，本文把他们放在一起，这就初步完成了对解的存在唯一性定理的几种简单证

明.对于解的存在唯一性定理的证明除了以上方法外，还有很多其他的方法，这就需

要进一步研究发现.

1预知识

随着时代的发展，数学的作用越来越明显，常微分方程的历史由来已以，可谓与

微积分相伴而生.数学家们对常微分方程研究的重点在于求解，但在求解之前，需要先

证明解存在且唯一.下面先介绍Lipschitz常数、逐步逼近法以及一些重要引理.

定义1口］设定函数是连续函数、位于矩形域R：\x-x0\a9\y-y0\b±9

假设有常数L0,使对任意(x,71),(x,y2)e/?都满足不等式

优3,叫)—f3-力)|v申1-对，

则称了(X,y)在R上关于y满足Lipschitz条件，称为Lipschitz常数.

2

定义2⑵逐步逼近法微分方程当=f(x,y)等价于积分方程=%+「f3,y)dx,

dx为

取9(0=,定义刃3)=+心，〃=1,2,・，可证明lim代3)=°3),

JXq00

而v=cp(x)满足积分方程.

压缩映射原理⑶若X是Banach空，『为定义在X上的压缩映射，则，有只有一

个不动点(换句话来说，方程B=x有只有一个解).

Bellman引理囹设心)为区［。,仞上非负的连续函数,ax0b.如果存在

520,k09使得y(x)满足不等式

y(x)d+k｛y(t)dt,ie［q,可，

J此

则有