陕西省名校教育联盟2025届高三下学期检测数学试卷（解析版）.docx

高级中学名校试题

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陕西省名校教育联盟2025届高三下学期检测数学试卷

一?单项选择题（每题5分，共40分，每道试题仅有一个正确选项）

1.将复数对应的向量绕原点按顺时针方向旋转，得到的向量为，那么对应的复数是

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】复数的三角形式是,向量对应的复数是

故选：A

2.已知甲船位于灯塔A的北偏东方向，且与A相距3的处.乙船位于灯塔的北偏西方向上的处.若两船相距，则乙船与灯塔A之间的距离（单位：）为（）

A.1 B. C.2 D.

【答案】C

【解析】由图可得，，

则由余弦定理可得：

.

故选：C

3.现有4名男生和3名女生计划利用假期到某地景区旅游，由于是旅游的旺季，他们在景区附近订购了一家酒店的5间风格不同的房间，并约定每个房间都要住人，但最多住2人，男女不同住一个房间，则女生甲和女生乙恰好住在同一间房的概率是（）

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】3名女生需要住2个房间或3个房间.

若3名女生住2个房间，则不同的方法种数为；

若3名女生住3个房间，则不同的方法种数为.

其中，女生甲和女生乙恰好住在同一间房的方法种数为，

所以女生甲和女生乙恰好住在同一间房的概率是.

故选：C

4.若的展开式中常数项为，则的最小值为（）

A.1 B.2 C.3 D.4

【答案】C

【解析】由，有，

令，即，故，

即，即，则，

当且仅当或时，等号成立，

故的最小值为.

故选：C.

5.若，则正实数的取值范围为（）

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】原不等式化为不等式，又继续化为，

设，则，

即上单调递增，而，

因为，所以，

由已知恒成立，令，则，

当时，即递减；当时，即递增；

∴，故只需，即．又，

所以的取值范围为.

故选：B

6.圆锥曲线具有丰富的光学性质，在人教版A版选择性必修第一册的阅读与思考中提到了椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线交于椭圆的另一个焦点上，（如图（1））.如图（2），已知为椭圆的左焦点，为坐标原点，直线为椭圆的任一条切线，为在上的射影，则点的轨迹是（）

A.圆 B.椭圆 C.双曲性 D.抛物线

【答案】A

【解析】解法一：设切线与椭圆相切于点，则切线的方程是，

切线的斜率为，则直线的方程是，

，

，①

，②

由①②可得，，③

，④

所以由③④可得，，故点的轨迹是圆.

解法二：如图，设切线与椭圆相切于点，

过右焦点作于，延长与直线交于点，

则有，所以全等，所以，

由椭圆光学性质知，

设，则，

，所以，

故，即点的轨迹是圆；

故选：.

7.已知数列满足，，记数列的前n项和为，设集合，对恒成立，则集合N的元素个数是（）

A.1 B.2 C.3 D.4

【答案】B

【解析】令，解得，即数列的不动点为，

其生成函数为，

所以，作出函数与函数的图像如图：

故，由蛛网图：，

,即，

又

，

一方面，由得，

，

，

，且当，，

.

另一方面，（法一）由得，

，

，

且当，，

，

必须大于等于

.

所以集合的元素个数是2，故选：B.

另一方面，（法二）由，得，

又

.又当，，

必须大于等于.

.

所以集合的元素个数是2，故选：B.

8.设，则满足条件的动点的变化范围（图中阴影部分含边界）是下列选项中的（）

A. B.

C. D.

【答案】A

【解析】设，由，得，

也即，由此判断出点的变化范围为.

故选：A.

二?多项选择题（每题6分，共18分，每道试题全部选对得6分，部分选对的部分分）

9.若不等式恒成立，其中为自然对数的底数，则的值可能为（）

A. B. C. D.

【答案】ABD

【解析】因为，所以，则．

令，则．当时，，单调递减；当时，，单调递增．故，即，

从而，当且仅当时，等号成立．

又，所以，则，所以．

令，则．

当时，，单调递减；

当时，，单调递增．故，

且当时，.

故选：ABD．

10.已知直四棱柱，底面是菱形，，且，为的中点，动点满足，且，，则下列说法正确（）

A.当平面时，

B.当时，的最小值为

C.若，则的轨迹长度为

D.当时，若点为三棱锥的外接球的球心，则的取值范围为

【答案】BD

【解析】因为动点满足，且，，

所以点为矩形内一点（含边界）

对于选项A，取的中点，中点，

连接，，因为为的中点，所以，

又平面，平面，

所以平面，

同理，平面，平面，

所以平面，又，平面，

所以平面平面，

因为平面，则的轨迹是线段，

所以，

又，所以，，故A错误；

对于选项B，因为，，且，，

所以，所以，，

所以的轨迹是，

由已