广东省惠州市五校2024-2025学年高一下学期4月联考试题数学.docx

广东省惠州五年高一下学期4月联考数学试卷

一、单选题

1．设平面向量，若，则实数（????）

A． B． C． D．

2．若复数满足，则（????）

A．2 B． C．1 D．

3．已知在中，角的对边分别为，若，则的值为（????）

A． B． C．1 D．2

4．已知，是不共线的非零向量，则以下向量可以作为基底的是（????）

A．， B．，

C．， D．，

5．在中，若，则此三角形（????）

A．无解 B．有两解 C．有一解 D．解的个数不确定

6．我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，在“赵爽弦图”中，若，则（????）

??

A． B．

C． D．

7．已知，，且，则向量在向量上的投影向量为（???）

A． B． C． D．

8．克罗狄斯·托勒密是希腊数学家，他博学多才，既是天文学权威，也是地理学大师．托勒密定理是平面几何中非常著名的定理，它揭示了圆内接四边形的对角线与边长的内在联系，该定理的内容为圆的内接四边形中，两对角线长的乘积等于两组对边长乘积之和．已知四边形是圆的内接四边形，且，．若，则圆的半径为（????）

A．4 B．2 C． D．

二、多选题

9．下列结论中错误的为（????）

A．两个有共同起点的单位向量，其终点必相同

B．向量与向量的长度相等

C．对任意向量，是一个单位向量

D．零向量没有方向

10．已知是边长为2的等边三角形，若向量，满足，，则（????）

A． B． C． D．

11．在中，，则（????）

A． B．的面积为8

C． D．的内切圆半径是

三、填空题

12．复数为纯虚数，则实数的值为．

13．如图，在中，，是上的一点，若，则实数的值为.

??

14．“大美中国古建筑名塔”榴花塔以红石为基，用青砖灰沙砌筑建成．如图，记榴花塔高为，测量小组选取与塔底在同一水平面内的两个测量点和，现测得m，在点处测得塔顶的仰角为，则塔高为m．

四、解答题

15．已知，向量．

(1)若向量，求向量的坐标；

(2)若向量与向量的夹角为120°，求．

16．在锐角中，内角，，所对的边分别为，，，已知．

(1)若，，求的值：

(2)若，判断的形状．

17．已知，，，是复平面上的四个点，其中，，且向量，对应的复数分别为，．

（1）若，求，；

（2）若，对应的点在复平面内的第二象限，求．

18．如图，在菱形中，.

(1)若，求的值；

(2)若，，求.

19．如图，正方形ABCD的边长为1，P，Q分别为边BC，CD上的点，且；

(1)求∠PAQ的大小；

(2)求面积的最小值；

(3)某同学在探求过程中发现PQ的长也有最小值，结合（2）他猜想“中PQ边上的高为定值”，他的猜想对吗?请说明理由．

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

D

A

C

C

B

B

B

B

ACD

AC

题号

11

答案

ABD

1．D

由有，根据向量数量积的坐标表示即可求解.

【详解】由有.

故选：D.

2．A

根据复数的运算先求复数，进而得，即可运算.

【详解】由有.

故选：A.

3．C

根据正弦定理即可求解.

【详解】由正弦定理可得,故.

故选：C

4．C

由不共线的两个非零向量才可以作为基底，结合共线定理对各项逐一判断.

【详解】对于A，因为，所以与共线，不能作为基底；

对于B，设，则，解得，所以与共线，不能作为基底；

对于C，设，则，即：，此时无解，所以与不共线，可以作为基底；

对于D，设，则，即：，解得，所以与共线，不能作为基底；

故选：C.

5．B

利用正弦定理求出，再结合，即可得出结论.

【详解】因为，，

所以，

因为，所以，

所以满足的有两个，所以此三角形有两解.

故选：B.

6．B

根据给定条件，利用平面向量的线性运算列式，再借助方程思想求解作答.

【详解】因为,所以,,

所以...①,...②，

由①+②得：，即.

故选：B

??

7．B

根据投影向量的公式求解即可.

【详解】设为向量，的夹角，因为，

所以向量在向量上的投影向量为.

故选：B.

8．B

由托勒密定理求出，设圆的半径为，由正弦定理可得，即可得到，再根据及二倍角公式求出，即可求出，从而得解.

【详解】解：由托勒密定理，得．

因为，所以．

设圆的半径为，由正弦定理，得．

又，所以．

因为，所以，

因为，所以，所以，

所以，则，故．

故选：B

9．ACD

由单位向量和零向量以及相反向量的定义即可判断.

【详解】对于A：由单位向量的定义可知，单位向量是模为1，方向任