高数课件四章一二讲.pptx

第四章不定积分第一讲不定积分与原函数求法第二讲第一类换元法第三讲第二类换元法和分部积分法法第四讲有理函数的不定积分第五讲习题课

不定积分与原函数求法一、不定积分的概念和性质二、求不定积分的方法

Ⅱ原函数存在性如果f(x)在区间Ⅰ上连续，则f(x)在Ⅰ上必存在原函数.则F(x)+c均为f(x)的原函数，∴f(x)的原函数有无数个Ⅰ定义如果在区间Ⅰ上恒有或dF(x)=f(x)dx则称F(x)为f(x)在区间Ⅰ上的原函数一、原函数的概念与性质Ⅲ个数如果f(x)存在原函数F(x)∵

Ⅳ关系同一函数的任二原函数之间相差一个常数.证明设F(x),G(x)均为f(x)的原函数，则

二、不定积分的概念和性质任意常数积分号被积函数不定积分的定义：被积表达式积分变量

例1求解解例2求

例3设曲线通过点（1，2），且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程.解设曲线方程为根据题意知由曲线通过点（1，2）所求曲线方程为

显然，求不定积分得到一积分曲线族.由不定积分的定义，可知不定积分的性质结论：微分运算与求不定积分的运算是互逆的.不定积分的几何意义性质1性质2

证等式成立.（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）

基本积分表?是常数);说明：简写为

例4：填空：

例5求积分解根据积分公式（2）

例6求积分解

例7求积分解

例8求积分解

例9求积分解说明：以上几例中的被积函数都需要进行恒等变形，才能使用基本积分表.

问题？解决方法利用复合函数，设置中间变量.过程令三、求不定积分的方法第一类换元法

在一般情况下：设则如果（可微）由此可得换元法定理

第一类换元公式（凑微分法）说明使用此公式的关键在于将化为观察重点不同，所得结论不同.定理1

例1求解（一）解（二）解（三）

例2求解一般地

例3求解

例4求解

例5求解

例6求解一般地

例7求解说明当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇次项去凑微分.

例8求解当被积函数是cosx与sinx的偶次幂相乘时，先将偶次项降次再凑微分.

例9求解

例10求例11

例12求解类似地可推出

例13求解

例14求解

例15求解

例16求原式

例17求解

解例18设求.令

按以上公式写出下列各式结果：(1)(2)

16(1)(2)