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高级中学名校试题

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四川省成都市成华区2023-2024学年高一下学期期末考试

数学试题

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.若为纯虚数，则实数（）

A. B.2 C. D.1

【答案】C

【解析】，

运用纯虚数概念，知，解得.

故选：C.

2.已知向量，，且，则实数k等于（）

A. B.4 C.0 D.

【答案】A

【解析】由向量，，可得，

由，得.

故选：A.

3.已知m，n是两条不同直线，，，是三个不同平面，则下列命题中正确的是（）

A.若，，则 B.若，，则

C.若，，则 D.若，，则

【答案】C

【解析】对于A项，若，则可以是平行，可以相交，也可以异面，故A项错误；

对于B项，若，则还可以平行，故B项错误；

对于C项，由线面垂直的性质，可得，故C项正确；

对于D项，若，则还可以相交，故D项错误.

故选：C.

4.如图，在正方体中，点M，N分别为线段AC和线段的中点，求直线MN与平面所成角为（）

A.60° B.45° C.30° D.75°

【答案】B

【解析】如图，取的中点，连接，

因是的中点，故，

又因正方体中，平面，故平面，

即是在平面上的射影，故即直线MN与平面所成角，

因是的中点，故，易得，

即直线MN与平面所成角为.

故选：B.

5.已知，则的值为（）

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】

.

故选：A.

6.设，为单位向量，在方向上的投影向量为，则（）

A.1 B.2 C. D.

【答案】D

【解析】因为，为单位向量，所以，

又在方向上的投影向量为，所以，

所以.

故选：D.

7.筒车亦称“水转筒车”，一种以水流作动力，取水灌田的工具，如图是某公园的筒车，假设在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做逆时针方向匀速圆周运动．现有一半径为2米的筒车，在匀速转动过程中，筒车上一盛水筒距离水面的高度（单位：米，记水筒在水面上方时高度为正值，在水面下方时高度为负值）与转动时间（单位：秒）满足函数关系式，，且时，盛水筒位于水面上方米处，当筒车转动到第秒时，盛水筒距离水面的高度为（）米．

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】依题意可得，即，又，所以，

所以，

则当时，

即当筒车转动到第秒时，盛水筒距离水面的高度为米.

故选：B.

8.已知角，满足，，则的值为（）

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】由，

因，代入可得，，

则.

故选：C.

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．

9.已知复数的共轭复数为，则下列命题正确的是（）

A.

B.为纯虚数

C.

D.

【答案】ACD

【解析】设复数，则，故，A正确；

，当时，为实数，B错误；

，则，C正确；

，

，故，

则，D正确.

故选：ACD.

10.函数的图象如图所示，则（）

A.的最小正周期为

B.的图象关于直线对称

C.是奇函数

D.若在上有且仅有两个零点，则实数

【答案】BD

【解析】

，

由图知函数经过点，则得，解得，

即，因，故得，，则有.

对于A，因的最小正周期为，故A错误；

对于B，

，

因时，，此时函数取到最大值，

故的图象关于直线对称，即B正确；

对于C，，显然这是偶函数，不是奇函数，

故C错误；

对于D，，当时，设，

作出在上的图象如图.

依题意，需使，即，故D正确.

故选：BD.

11.设点D是所在平面内一点，O是平面上一个定点，则下列说法正确的有（）

A.若，则D是BC边上靠近B的三等分点

B.若，（且），则直线AD经过的垂心

C.若，且x，，，则是面积的一半

D.若平面内一动点P满足，（且），则动点P的轨迹一定通过的外心

【答案】ABC

【解析】对于A，由可得，，

即得，故点D是BC边上靠近B的三等分点，故A正确；

对于B，因，

则

，即，

故直线AD经过的垂心，即B正确；

对于C，因，，则，

设，则，因，故三点共线，

如图1所示，，故的边上的高是的边上的高的一半，

故是面积的一半，即C正确；

对于D，由可得，，

如图2，取，则有，

以为两邻边作，

易知是菱形，故平分，且故得，，

故动点的轨迹为的平分线，即动点P的轨迹一定通过的内心，故D错误.

故选：ABC.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．

12.已知平面向量，满足，，，则向量，夹角的余弦值为______．

【答案】

【解析】因为，所以，