高二立体几何与空间向量练习题.docVIP

高二、空间向量与立体几何解答题练习题

1．〔此题总分值12分〕如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，．

〔Ⅰ〕证明：平面PQC⊥平面DCQ；

〔Ⅱ〕求二面角Q—BP—C的余弦值．

．解：〔I〕依题意有Q〔1，1，0〕，C〔0，0，1〕，P〔0，2，0〕.

那么

所以

即PQ⊥DQ，PQ⊥DC.故PQ⊥平面DCQ.

又PQ平面PQC，所以平面PQC⊥平面DCQ.

〔II〕依题意有B〔1，0，1〕，

设是平面PBC的法向量，那么

因此可取

设m是平面PBQ的法向量，那么

可取

故二面角Q—BP—C的余弦值为

2．〔此题12分〕

长方体中，，

，是底面对角线的交点.

(Ⅰ)求证：平面；

(Ⅱ)求证：平面；

(Ⅲ)求三棱锥的体积.

〔此题12分〕

解:(Ⅰ)证明：依题意：，且在平面外．……2分

∴平面…………………3分

(Ⅱ)证明：连结

∵

∴平面…………4分

又∵在上，∴在平面上

∴…………5分

∵∴

∴

∴中，…………………6分

同理：

∵中，

∴…………7分

∴平面………8分

(Ⅲ)解：∵平面

∴所求体积……10分

………………12分

3.(此题12分)如图,在长方体中,点在棱上.

(1)求异面直线与所成的角；

(2)假设二面角的大小为,求点到面的距离.

解法一:(1)连结.由是正方形知.

∵平面,

∴是在平面内的射影.

根据三垂线定理得,

那么异面直线与所成的角为.…………5分

(2)作,垂足为,连结,那么.

所以为二面角的平面角,.

于是,

易得,所以,又,所以.

设点到平面的距离为,那么由于

即,

因此有,即,∴.…………12分

解法二:如图,分别以为轴,轴,轴,建立空间直角坐标系.

(1)由,得,

设,又,那么.

∵∴,

那么异面直线与所成的角为.……5分

(2)为面的法向量,设为面的法向量,那么

,

∴.①

由,得,那么,即,∴②由①、②,可取,又,

所以点到平面的距离.……………12分

4．〔本小题总分值12分〕

用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，那么截面与底面之间的局部叫棱台。

如图，在四棱台中，下底是边长为的正方形，上底是边长为1的正方形，侧棱⊥平面，.

〔Ⅰ〕求证：平面；

〔II〕求平面与平面夹角的余弦值.

以D为原点，以DA、DC、DD1所在直线分别为x轴，z轴建立空间直角坐标系D—xyz如图，那么有A〔2，0，0〕，B〔2，2，0〕，C〔0，2，0〕，A1〔1，0，2〕，B1〔1，1，2〕，C1〔0，1，2〕，D1〔0，0，2〕.…3分

〔Ⅰ〕证明：设那么有所以，，∴平面；………6分

〔II〕解：

设为平面的法向量，

于是………8分

同理可以求得平面的一个法向量，………10分

∴二面角的余弦值为.………12分

CBAC1B1A15.〔本小题总分值12分〕如图，直三棱柱

C

B

A

C1

B1

A1

(Ⅰ)证明：；

〔Ⅱ〕求二面角A——B的余弦值。

18．如图，在6.四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，侧面PAD是正三角形且与底面ABCD垂直，E是AB的中点，PC与平面ABCD所成角为．

〔1〕求二面角P-CE-D的大小；

〔2〕当AD为多长时，点D到平面PCE的距离为2．

〔1〕设AD的中点为O，BC的中点为F，以O为原点，AD为x轴正半轴，AP为z轴正半轴，OF为y轴正半轴建立空间直角坐标系，连接OC，那么为PC与面AC所成的角，=，

设AD=2a,那么故，那么，，，设平面PCE的一个法向量为。

那么得，

又平面DCE的一个法向量〕，,

故二面角P-CE-D为………〔8分〕

〔2〕D(a,0,0),那么,那么点D到平面PCE的距离

d=2,那么，AD=………〔12分〕

7.〔此题总分值12分〕

如图，在四棱锥S-ABCD中，SD⊥底面ABCD，

底面ABCD是正方形，且SD=AD，E是SA的中点.

〔1〕求证：直线BA⊥平面SAD；

〔2〕求直线SA与平面BED的夹角的正弦值.

解：〔1〕∵SD⊥平面ABCD，∴SD⊥AB，又AD⊥AB，∴AB⊥平面SAD，……6分

〔2〕以D为原点，分别以DA、DC、DS为轴建立空间直角坐标系，如图，

设AB=2，那么，

，故，

，……………8分

设平面BED的一个法向量为，由得

，取，……………10分

设直线SA与平面BED所成角为