高考数学-数列典型例题选讲.docVIP

数列典型例题选讲

1．数列为正项等比数列,

(1)求的通项公式;

(2)设的前n项和为,求

【解析】

2．设数列的前项和为

(I)设,证明数列是等比数列

(II)求数列的通项公式．

【解析】(I)由及,有

由,...①那么当时,有.....②

②-①得

又,是首项,公比为2的等比数列.

(II)由(I)可得,

数列是首项为,公差为的等比数列.

,

3．等比数列中,.

(Ⅰ)假设为等差数列,且满足,求数列的通项公式;

(Ⅱ)假设数列满足,求数列的前项和.

【解析】(Ⅰ)在等比数列中,.

所以,由得,即,

因此,

在等差数列中,根据题意,

可得,

所以,

(Ⅱ)假设数列满足,那么,

因此有

4．设数列的前项和为,满足(,,t为常数),且.

(Ⅰ)当时,求和;

(Ⅱ)假设是等比数列,求t的值;

(Ⅲ)求.

【解析】解法一(Ⅰ)当时,,当时,,

两式相减得(*)

时,,得因为,得,故(*)

因为,所以,

(Ⅱ)由(*)可知(),假设是等比数列,那么成等比数列

即因为,所以

即,所以或.经检验,符合题意

(Ⅲ)由(*)可知()

当时,,此时,

当时,,

此时,

所以

解法二(Ⅰ)因为及,得

所以且,解得

同理,解得

(Ⅱ)当时,,得,

两式相减得(**)即

当t=0时,,显然是等比数列

当时,令,可得

因为是等比数列,所以为等比数列,当时,恒成立,

即恒成立,化简得恒成立,

即,解得,综合上述,或

(Ⅲ)当时,由(**)得

数列是以1为首项,1为公差的等差数列,所以

当时,由(**)得,设(k为常数)

整理得,显然

所以,即数列是以为首项,为公比的等比数列

所以,即

所以

所以

5．数列的前n项和为,且满足,

(I)求的值;

(II)求证数列是等比数列;

(III)假设,求数列的前n项和.

【解析】(I)因为,令,解得

再分别令,解得

(II)因为,所以,

两个代数式相减得到

所以,

又因为,所以构成首项为2,公比为2的等比数列

(III)因为构成首项为2,公比为2的等比数列,所以,所以

因为,所以

所以

令

因此

所以

6．成等差数列.又数列此数列的前n项的和Sn()对所有大于1的正整数n都有.

(1)求数列的第n+1项;

(2)假设的等比中项,且Tn为{bn}的前n项和,求Tn.

【解析】(1)成等差数列,∴

∴

∵,

∴

∴{}是以为公差的等差数列.

∵,

∴

∴

(2)∵数列的等比中项,∴

∴

7．设数列的前项和为,且;数列为等差数列,且?

(1)求数列的通项公式;

(2)假设为数列的前项和,求证?

【解析】(1)由

(2)数列为等差数列,公差

从而

从而

8．在数列中,

(1)设,求数列的通项公式(2)求数列的前项和

【解析】(I)由有

利用累差迭加即可求出数列的通项公式()

(II)由(I)知,=

而,又是一个典型的错位相减法模型,

易得=

9．,是方程的两根,数列是公差为正的等差数列,数列的前项和为,且

(1)求数列,的通项公式;

(2)记=,求数列的前项和.

【解析】(1)由.且得

,

在中,令得当时,T=,

两式相减得,

(2),

,,

=2

=,

10．数列的前项和为,且是与2的等差中项,数列中,,点在直线上?

(Ⅰ)求和的值;

(Ⅱ)求数列,的通项和;

(Ⅲ)设,求数列的前n项和?

【解析】(1)∵是与2的等差中项,∴?

∴解得,解得

(2)又

又

即数列是等比数列

又点在直线上,

,即数列是等差数列,又

(3)

?

因此由错位相减法得,∴?

11．在等差数列中,前7项和等于35,数列中,点在直线上,其中是数列的前项和?

(1)求数列的通项公式;

(2)求证数列是等比数列;

(3)设为数列的前项和,求并证明;?

【解析】(1)设数列的公差为d,那么由题意知得

∴

(2)∵点在直线上

∴----①,-----②

①-②得,∴,

又当时,∴

∴数列是以为首项,为公比的等比数列?

(3)由(2)知,,

∴

-----------③

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