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高级中学名校试题
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上海市2025届高三下学期2月高考调研数学试卷
一、填空题(本大题共12题,第1~6题每题4分,第7~12题每题5分,共54分.考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.)
1.设,则不等式的解集为________.
【答案】
【解析】由.
所以不等式的解集为:.
故答案为:
2.若是首项为2,公差为3的等差数列,则_______.
【答案】11
【解析】由题意:,
所以.
故答案为:11
3.二项式的展开式中,项的系数为_______________.
【答案】
【解析】展开式的通项为,令,则,所以的系数为.
4.已知一组数据为2.4,2.6,3.3,3.8,4.0,4.1,则这组数据的中位数为________.
【答案】3.55
【解析】显然这组数据共6个数,且已经按照从小到大的顺序排好,
因此这组数据的中位数为第三个数和第四个数的平均数,即.
故答案为:3.55.
5.在中,若,,,则的长为_______.
【答案】
【解析】,
所以,
故答案为:
6.实数满足,则的最大值为___________.
【答案】
【解析】因为实数满足,
所以由基本不等式可得:(当且仅当时等号成立),
所以.
即的最大值为.
故答案为:.
7.双曲线()的焦点为、,且为该双曲线上一点,若,,则该双曲线的离心率为_______.
【答案】
【解析】根据双曲线的定义可得:,所以.
又,所以.
所以双曲线的离心率为:.
故答案为:
8.为了增强法治观念,甲、乙两位老师在共所学校中各自选所学校开展普法讲座.在甲、乙一共选择了所不同的学校的条件下,恰有一位老师选择学校开展讲座的概率为________.
【答案】
【解析】记事件:甲、乙一共选择了所不同的学校进行普法,事件:恰有一位老师选择学校开展普法讲座,
因为,,所以,
故答案为:.
9.设,已知,若,则的取值范围为________.
【答案】
【解析】若,即时,,可得;
若,即时,,可得,不符合前提;
综上,的取值范围为.
故答案为:
10.在斜三棱柱中,连接、与,记三棱锥的体积大小为,三棱柱的体积大小为,则________.
【答案】
【解析】设斜三棱柱的高为,,
则,,
,则.
故答案为:.
11.如图所示,是一处观景台,、分别为观景区域的边界,未教星工程队计划修建与两条道路.已知与的距离为1km,且,为了便于工程队测量观景台的观景效果,现给出如下假设:假设1:观景台的观景范围为四边形;假设2:观景台、道路与均处于同一平面内,其中;假设3:,.当四边形的面积为最大值时,则________.(结果精确至0.01)
【答案】
【解析】设,则,由题意知,
则,
如图,连接.
在中,,则,;
在中,同理可得,;
故四边形的面积
,.
令,,即.
由,则,
令,则,
解得,由,
故不妨设,且,
当,即时,
,即,在单调递增;
当,即时,
,即,在单调递减;
故,即当时取到最大值.
由,可得,
则
.
此时,
故答案为:.
12.设,集合.若对任意,均存在和,满足,,则的最大值为_______.
【答案】
【解析】设方程表示的区域为,
用代换方程不变,可知区域关于y轴对称;
用代换方程不变,可知区域关于x轴对称;
当时,区域可化为,据此可得区域的图形如图阴影所示,
取,
可知区域为正方形及其内部,
设,点均在区域内,
因为,,即,,
可知点在线段上,
又因为,记为过点的线段的长度的最大值,
若求,不妨假设点在正方形的边界上,
若,即,
可知最大值为的最小值,
取的中点分别为,可知区域关于直线对称,
根据对称性只需假定点在线段上即可,此时,
可知当点与点重合时,取到最小值,
所以的最大值为.
故答案为:.
二、选择题(本大题共4题,第13、14题每题4分,第15、16题每题5分,共18分.每题有且仅有一个正确选项,考生应在答题纸的相应位置,将代表正确选项的小方格涂黑.)
13.若集合满足,则可以是()
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由,则或.
故选:A
14.在研究“温度是否影响庄稼生长”时,对实验数据利用2×2列联表进行独立性检验,计算得实验数据的统计量的值为.已知,则()
A.的值小于3.841,就有95%的把握认为“温度会影响庄稼生长”
B.的值大于3.841,就有95%的把握认为“温度会影响庄稼生长”
C.的值越大,说明实验数据的观测值与预测值的总体偏差越小
D.的值越小,说明实验数据的观测值与预测值的总体偏差越大
【答案】B
【解析】因为,则的值大于3.841,
就有95%的把握认为“温度会影响庄稼生长”,A选项错误,B选项正确;
的值的大小不能说明实验数据的观测值与
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