动点到两定点的距离最值.docx

浅析动点到两个定点得距离之和（差)得最值

一、直线上得动点到直线外两个定点得距离之和（差）得最值、

例1(１)已知点Ａ(1,1)，点B(3,-2)，P就就是x轴上任意一点,则ＰＡ＋PB得最小值为?????????,此时点P得坐标为??????????;

（2)已知点A(1，1），点B（3,2），Ｐ就就是x轴上任意一点,则PB-PA得最大值为??????????,此时点P得坐标为??????????、

解析:(1)如图1,当点P在x轴上运动时,ＰA+PＢ?AB(当且仅当A,P,B三点共线时等号成立)?

?(PA+PB)min?=AＢ=

???????此时,点P得坐标为

(2)如图2，当点P在ｘ轴上运动时，ＰＢ-PA??AB（当且仅当Ａ,P，B三点共线时等号成立)

??????(PＢ-PA)ｍax?=AB=

????????此时，点P得坐标为

变题:(1)已知点Ａ(１，1），点B(3,２),P就就是x轴上任意一点，则PA+ＰＢ得最小值为??????????,此时点P得坐标为??????????;

解析:（１）如图3,作点B关于x轴得对称点Ｂˊ(3,-2),则有ＰＢ=PBˊ

当点P在x轴上运动时,PA+ＰB=PA+ＰBˊ＝ABˊ（当且仅当A,P,Bˊ三点共线时等号成立)?（PＡ＋PB）ｍiｎ?=ＡB?=?此时，点P得坐标为

(2)已知点A(1,1),点Ｂ(3,-２），P就就是ｘ轴上任意一点,则PＢ-PA得最大值为??????????,此时点P得坐标为?????????、

解析：(2）如图4,作点Ｂ关于x轴得对称点Bˊ，则有PB=ＰＢˊ

当点P在x轴上运动时，PB－PA=PBˊ-PA?﹦AＢˊ

(当且仅当A,P,Bˊ三点共线时等号成立)

????????(PB-PA)ｍaｘ?=ABˊ=

????????此时,点P得坐标为

归纳:①当两定点位于直线得异侧时可求得动点到两定点得距离之和得最小值;

??????②当两定点位于直线得同侧时可求得动点到两定点得距离之和得绝对值得最大值、

若不满足①②时,可利用对称性将两定点变换到直线得同(异）侧,再进行求解、如变题得方法、

例2函数得值域为????????????????????、

解析:将函数进行化简得:

即为动点Ｐ(x,0）到两定点A(１,１）、B（3,-2）得距离之和、由例１可知：

该值域为

?

二、圆锥曲线上得动点到两个定点得距离之和(差）得最值、

?

（一）直接求解或利用椭圆(或双曲线)得定义进行适当转化后求解、

例３(1）已知A(4,０）和B（2,2),M就就是椭圆上得动点,则MA-MB得范围就就是??????????;

解析:(1)如图5,在?ＭＡB中有MA－MBAB,当Ｍ,A，Ｂ三点共线且ＭBMA即点M位于M2处时,有MA-MB=AB，所以MA-ＭB?AB;同理在?MＡB中有MＢ-MA?AＢ,即MB-MA?-ＡB(当点M位于M1处时等号成立）

综上所述：-AB≦MA－ＭB≦AB

(２）已知Ａ(4,0)和B(2，２）,M就就是椭圆上得动点,则MA＋ＭB得最大值就就是??????????、

解析:（2)?如图6，因为点A恰为椭圆得右焦点,所以??????????由椭圆得定义可得ＭA+MB=１0-MF+MＢ（F为椭圆得左焦点),同(1)可得MＢ-MF﹦ＢF(当且仅当点M位于点M4处时,等号成立)所以(ＭＡ＋MB)max?=(１0-ＭF+MＢ)mａx=10+BF＝10+

点评:因为点Ａ,B都在椭圆得内部（即两定点都在曲线得同侧),故可直接求出动点M到两定点A，B得距离之差得最值;若要求动点M到两定点A,B得距离之和得最值(其中A恰为焦点),需要利用椭圆得定义转化为动点Ｍ到两定点Ｆ,B得距离之差得最值(点F为另一焦点)、

例4(1)已知Ｆ就就是双曲线得左焦点,A(4,1),P就就是双曲线右支上得动点，则ＰA+PF得最小值为??????????;

解析:(1)如图7,在?PAB中有PA+PＦAB，当Ｐ，A,F三点共线即点P位于P1处时，有PA+PＦ=AF，

所以(PＡ+PF)min=AF=、

（2)已知F就就是双曲线得左焦点,Ａ(1,４),P就就是双曲线右支上得动点,则PA+ＰF得最小值为????????、

解析：(2)如图8,设F2就就是双曲线得右焦点，由双曲线得定义可得PＡ+ＰF=PA+2ａ+PF2=８＋ＰA+PF2=8+AＦ2(当P，A,F2三点共线即点Ｐ位于Ｐ2处时等号成立),

所以(ＰＡ+PF)ｍｉｎ＝8+AF２＝13、

点评:本题需要特别关注点与双曲线得位置关系，两定点一定要在动点得轨迹(曲线)得异侧、

?

(二)利用圆锥曲线得统一定义将圆锥曲线上得动点到焦点得距离与到相应准线得距离进行互化后进行求解、

例5(1)已知点Ａ（2,2),F就