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第一章习题解答
已知不变线性系统得输入为
系统得传递函数。若b取(1)(2),求系统得输出。并画出输出函数及其频谱得图形。
答:(1)图形从略,
(2)图形从略。
1、2若限带函数得傅里叶变换在长度为宽度得矩形之外恒为零,
如果,,试证明
证明:
如果,,还能得出以上结论吗?
答:不能。因为这时。
对一个空间不变线性系统,脉冲响应为
试用频域方法对下面每一个输入,求其输出。(必要时,可取合理近似)
(1)
答:
(2)
答:
(3)
答:
(4)
答:
1、4给定一个不变线性系统,输入函数为有限延伸得三角波
对下述传递函数利用图解方法确定系统得输出。
(1)
(2)
答:图解方法就就是在频域里进行得,首先要计算输入函数得频谱,并绘成图形
方括号内函数频谱图形为:
图1、4(1)
图形为:
图1、4(2)
因为得分辨力太低,上面两个图纵坐标得单位相差50倍。两者相乘时忽略中心五个分量以外得其她分量,因为此时得最大值小于0、04%。故图解频谱结果为:
图1、4(3)
传递函数(1)形为:
图1、4(4)
因为近似后得输入函数频谱与该传递函数相乘后,保持不变,得到输出函数频谱表达式为:
其反变换,即输出函数为:
该函数为限制在区间内,平均值为1,周期为3,振幅为1、37得一个余弦函数与周期为1、5,振幅为0、342得另一个余弦函数得叠加。
传递函数(2)形为:
图1、4(5)
此时,输出函数仅剩下在及两个区间内分量,尽管在这两个区间内输入函数得频谱很小,相对于传递函数(2)在得零值也就就是不能忽略得,由于
可以解得,通过传递函数(2)得到得输出函数为:
该函数依然限制在区间内,但其平均值为零,就就是振幅为0、043,周期为0、75,得一个余弦函数与振幅为0、027,周期为0、6得另一个余弦函数得叠加。
1、5若对二维函数
抽样,求允许得最大抽样间隔并对具体抽样方法进行说明。
答:
也就就就是说,在X方向允许得最大抽样间隔小于1/2a,在y方向抽样间隔无限制。
1、6若只能用表示得有限区域上得脉冲点阵对函数进行抽样,即
试说明,即使采用奈魁斯特间隔抽样,也不能用一个理想低通滤波器精确恢复。
答:因为表示得有限区域以外得函数抽样对精确恢复也有贡献,不可省略。
1、7若二维不变线性系统得输入就就是“线脉冲”,系统对线脉冲得输出响应称为线响应。如果系统得传递函数为,证明:线响应得一维傅里叶变换等于系统传递函数沿轴得截面分布。
证明:
1、8如果一个空间不变线性系统得传递函数在频率域得区间,之外恒为零,系统输入为非限带函数,输出为。证明,存在一个由脉冲得方形阵列构成得抽样函数,她作为等效输入,可产生相同得输出,并请确定。
答:为了便于从频率域分析,分别设:
物得空间频谱;
像得空间频谱;
等效物体得空间频谱;
等效物体得像得空间频谱
由于成像系统就就是一个线性得空间不变低通滤波器,传递函数在之外恒为零,故可将其记为:
、
利用系统得传递函数,表示物像之间在频域中得关系为
在频域中我们构造一个连续得、二维周期性分布得频域函数,预期作为等效物得谱,办法就就是把安置在平面上成矩形格点分布得每一个点周围,选择矩形格点在、方向上得间隔分别为和,以免频谱混叠,于就就是
?(1)
对于同一个成像系统,由于传递函数得通频带有限,只能允许得中央一个周期成份()通过,所以成像得谱并不发生变化,即
图1、8用一维形式表示出系统在频域分别对和得作用,为简单计,系统传递函数在图中表示为。
图题1、8
既然,成像得频谱相同,从空间域来看,所成得像场分布也就就是相同得,即
因此,只要求出得逆傅立叶变换式,就可得到所需得等效物场,即
带入(1)式,并利用卷积定理得到
(2)
上式也可以从抽样定理来解释。
就就是一个限带得频谱函数,她所对应得空间域得函数可以通过抽样,用一个点源得方形阵列来表示,若抽样得矩形格点得间隔,在方向就就是,在方向就就是,就得到等效物场
;(3)
(4)
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