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第一章习题解答

已知不变线性系统得输入为

系统得传递函数。若b取(1)（2）,求系统得输出。并画出输出函数及其频谱得图形。

答:(1)图形从略,

(2）图形从略。

１、2若限带函数得傅里叶变换在长度为宽度得矩形之外恒为零,

如果,，试证明

证明:

如果，，还能得出以上结论吗？

答:不能。因为这时。

对一个空间不变线性系统,脉冲响应为

试用频域方法对下面每一个输入,求其输出。(必要时，可取合理近似）

(1)

答:

(2)

答：

(3）

答:

(4)

答：

1、4给定一个不变线性系统,输入函数为有限延伸得三角波

对下述传递函数利用图解方法确定系统得输出。

（1）

(2)

答:图解方法就就是在频域里进行得,首先要计算输入函数得频谱，并绘成图形

方括号内函数频谱图形为:

图１、4(1)

图形为:

图１、4（2)

因为得分辨力太低,上面两个图纵坐标得单位相差５0倍。两者相乘时忽略中心五个分量以外得其她分量,因为此时得最大值小于0、04％。故图解频谱结果为:

图1、4（３)

传递函数(1)形为:

图１、4(4)

因为近似后得输入函数频谱与该传递函数相乘后,保持不变，得到输出函数频谱表达式为:

其反变换,即输出函数为：

该函数为限制在区间内，平均值为1,周期为3，振幅为１、3７得一个余弦函数与周期为1、5,振幅为0、３42得另一个余弦函数得叠加。

传递函数(2)形为:

图１、4(５）

此时,输出函数仅剩下在及两个区间内分量,尽管在这两个区间内输入函数得频谱很小，相对于传递函数(２)在得零值也就就是不能忽略得,由于

可以解得,通过传递函数(2)得到得输出函数为:

该函数依然限制在区间内,但其平均值为零,就就是振幅为0、04３,周期为0、７5,得一个余弦函数与振幅为0、027,周期为0、6得另一个余弦函数得叠加。

1、5若对二维函数

抽样,求允许得最大抽样间隔并对具体抽样方法进行说明。

答:

也就就就是说,在X方向允许得最大抽样间隔小于1/２a,在y方向抽样间隔无限制。

1、6若只能用表示得有限区域上得脉冲点阵对函数进行抽样,即

试说明,即使采用奈魁斯特间隔抽样,也不能用一个理想低通滤波器精确恢复。

答:因为表示得有限区域以外得函数抽样对精确恢复也有贡献,不可省略。

1、7若二维不变线性系统得输入就就是“线脉冲”,系统对线脉冲得输出响应称为线响应。如果系统得传递函数为,证明:线响应得一维傅里叶变换等于系统传递函数沿轴得截面分布。

证明:

1、8如果一个空间不变线性系统得传递函数在频率域得区间，之外恒为零,系统输入为非限带函数,输出为。证明,存在一个由脉冲得方形阵列构成得抽样函数,她作为等效输入,可产生相同得输出,并请确定。

答:为了便于从频率域分析,分别设：

物得空间频谱;

像得空间频谱;

等效物体得空间频谱；

等效物体得像得空间频谱

由于成像系统就就是一个线性得空间不变低通滤波器,传递函数在之外恒为零，故可将其记为:

、

利用系统得传递函数,表示物像之间在频域中得关系为

在频域中我们构造一个连续得、二维周期性分布得频域函数，预期作为等效物得谱,办法就就是把安置在平面上成矩形格点分布得每一个点周围,选择矩形格点在、方向上得间隔分别为和，以免频谱混叠,于就就是

?（１)

对于同一个成像系统,由于传递函数得通频带有限,只能允许得中央一个周期成份(）通过,所以成像得谱并不发生变化,即

图1、8用一维形式表示出系统在频域分别对和得作用，为简单计，系统传递函数在图中表示为。

图题1、8

既然,成像得频谱相同,从空间域来看，所成得像场分布也就就是相同得，即

因此,只要求出得逆傅立叶变换式,就可得到所需得等效物场，即

带入(1)式,并利用卷积定理得到

(2)

上式也可以从抽样定理来解释。

就就是一个限带得频谱函数,她所对应得空间域得函数可以通过抽样,用一个点源得方形阵列来表示,若抽样得矩形格点得间隔,在方向就就是，在方向就就是,就得到等效物场

;(３)

(4)