用配方法化二次型成标准型.pptxVIP

用正交变换化二次型为标准形，其特点是保

持几何形状不变．

问题有没有其它方法，也可以把二次型化

为标准形？

问题的回答是肯定的。下面介绍一种行之有

效的方法——拉格朗日配方法．

一、拉格朗日配方法的具体步骤

1.若二次型含有的平方项，则先把含有

的乘积项集中，然后配方，再对其余的变量同

样进行，直到都配成平方项为止，经过非退化线

性变换，就得到标准形;

拉格朗日配方法的步骤

2.若二次型中不含有平方项，但是

则先作可逆线性变换

化二次型为含有平方项的二次型，然后再按1中方

法配方.

解

所用变换矩阵为

解

例2

由于所给二次型中无平方项，所以

再配方，得

所用变换矩阵为

将一个二次型化为标准形，可以用正交变换

法，也可以用拉格朗日配方法，或者其它方法，

这取决于问题的要求．如果要求找出一个正交矩

阵，无疑应使用正交变换法；如果只需要找出一

个可逆的线性变换，那么各种方法都可以使用．

正交变换法的好处是有固定的步骤，可以按部就

班一步一步地求解，但计算量通常较大；如果二

次型中变量个数较少，使用拉格朗日配方法反而

比较简单．需要注意的是，使用不同的方法，所

得到的标准形可能不相同，但标准形中含有的项

数必定相同，项数等于所给二次型的秩．

二、小结

思考题

思考题解答