643第1课时余弦定理教学设计-高一下学期数学人教A版.docx

第1课时6.4.3余弦定理、正弦定理

【教学内容】

余弦定理.

【教学目标】

（1）能用向量探究三角形边长与角度的关系，掌握余弦定理的推导过程，发展逻辑推理核心素养；

（2）运用余弦定理及其推论解决两类解三角形问题，发展数学运算核心素养.

【教学重点与难点】

教学重点：余弦定理及应用.

教学难点：发现三角形边角关系，正确运用余弦定理及其推论解三角形.

【教学过程设计】

环节一创设情景，提出问题

引导语：对于一般三角形，SSS、SAS、ASA、AAS等判定三角形全等的方法表明，给定三角形的三个角和三条边这六个元素中的某些元素，这个三角形就是唯一确定的.那么三角形的其他元素由与给定的某些元素有怎样的数量关系呢？结合上节内容，我们利用向量方法来研究这个问题：

问题1：在中，三个角A,B,C所对的边分别是a，b，c，怎样用a，b，c和C表示c？

图6.48师生活动：学生独立思考，教师可以选择以下问题进行引导学生明确利用向量进行探究：

图6.48

设计意图：“已知三角形的两边及其夹角，求第三边”的数学问题，使学生发现用旧知识是难以解决这个问题的，激发学生学习新知识的欲望，利用追问引导学生思考用向量探究．

环节二探究推导，得出定理

问题2：第三边如何表示用向量出来？怎样从向量转化为模长？

师生活动：教师给出问题引导，学生独立思考，教师总结得出余弦定理.

教师引导问题：

①回忆向量减法的几何意义，如何表示？

②研究的目标用，和C表示出，向量的模长是如何计算的？

学生分析作答：

①利用向量减法，可以得到.

②根据向量的数量积的定义，向量模长是自身与自身作数量积运算，等式右边为两个向量的差作乘积运算.

教师总结：第三边可以利用向量的减法用已知的两边表示，要求的是第三边长联想到向量的数量积的性质，考虑用与其自身作数量积运算.

解：如图，设，，，那么

①

由①得

向量的数量积可以用模长来表示，因此可以直接把等式转化为

同理可得

教师规范书写板书：

余弦定理：三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦值的积的两倍，即

设计意图：结合所学习的向量知识，让学生明白可以用向量法推导出余弦定理，此过程中学生能从向量相乘联想到数量积的性质，回顾之前所学习的知识，有利于增强知识的连贯性.同时培养学生观察能力，逻辑推理和数学运算核心素养.

问题3：利用余弦定理，可以从三角形已知的两边及其夹角直接求出第三边.如果已知三角形的三边，怎么确定三角形的三个角？

师生活动：学生独立思考，作答，教师总结.

学生分析作答：把余弦定理变形，可以用三条边表示出三个角的余弦值，即确定了三个角.

教师总结：如果已知三角形的两边及其夹角，可以利用余弦定理求出第三边；如果已知三角形的三边，可以通过余弦定理的推论求出三个角.从余弦定理及其推论可以看出：（1）三角函数把几何中关于三角形的定性结论变成了可定量计算的公式.

（2）它们把“SAS”和“SSS”判定三角形全等的方法从数量化的角度进行了刻画.

（3）同时它们也是方程，蕴含了三条边和一个角这四个几何量，并且边长和角度可以相互转化.

教师规范书写板书：

余弦定理推论：

设计意图：通过问题的回答，明确余弦定理及其推论是三角形边长和角度可以相互转化的公式，进一步理解余弦定理刻画的边角关系，培养了发展了数学运算核心素养.

问题4：在初中学习了勾股定理指出了直角三角形中三边之间的关系，余弦定理则指出了三角形的三条边与其中一个角之间关系.你能说说这两个定理之间的关系吗？

师生活动：学生独立思考，作答，教师总结.

学生分析作答：如果中有一个角是直角，由余弦定理可以得出勾股定理.

教师总结：如果中有一个角是直角，例如，这时.由余弦定理可得，这就是勾股定理.由此可见，余弦定理是勾股定理的推广，而勾股定理是余弦定理的特例.

设计意图：通过问题的回答，明确余弦定理和勾股定理的关系.将新知识与旧知识联系起来，便于学生纳入知识体系顺化知识结构，同时培养了逻辑推理核心素养.

问题5：通过前面的学习，在三角形中我们利用余弦定理能够解决哪些问题？

师生活动：学生独立思考，作答，教师在此基础上给出解三角形定义.

学生作答如下：

①已知两边及其夹角，求第三边和角；

②已知三边求三角.

解三角形：一般地，三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.

设计意图：让学生明确余弦定理及其推论可以解决两类基本的解三角形问题，凸显了应用价值，为后续学习利用正弦定理解三角形打下基础.

环节三例题练习，加深理解

例1（教科书第43页例5）在中，已知，，，解这个三角形（角度精确到，边长精确到）

师生