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2025/4/26第3章线性系统的时域分析3线性系统的时域分析
2025/4/26第3章线性系统的时域分析本章知识点本章讨论线性系统的运动分析。主要介绍连续系统的状态空间模型的求解状态转移矩阵的性质和计算
2025/4/26第3章线性系统的时域分析概述建立了系统的数学描述之后,接着而来的是对系统作定量和定性的分析。定量分析主要包括研究系统对给定输入信号的响应问题,也就是对描述系统的状态方程和输出方程的求解问题。定性分析主要包括研究系统的结构性质,如能控性、能观性、稳定性等。
2025/4/26第3章线性系统的时域分析本章讨论用状态空间模型描述的线性系统的定量分析问题,即状态空间模型--状态方程和输出方程的求解问题。讨论状态转移矩阵的定义、性质和计算方法,并在此基础上导出状态方程的求解公式。
2025/4/26第3章线性系统的时域分析本章需解决的问题:线性定常连续系统状态方程的解理论基本概念:状态转移矩阵状态转移矩阵和矩阵指数函数eAt的性质和计算
2025/4/26第3章线性系统的时域分析3.1线性定常连续系统状态方程的解求解状态方程是进行动态系统分析与综合的基础,是进行定量分析的主要方法。本节讲授的状态方程求解理论是建立在状态空间上,以矩阵代数运算来描述的定系数常微分方程解理论。下面基于矩阵代数运算的状态方程解理论中,引入了状态转移矩阵这一基本概念。该概念对我们深刻理解系统的动态特性、状态的变迁(动态演变)等都是非常有帮助的,对该概念必须准确掌握和深入理解。
2025/4/26第3章线性系统的时域分析在讨论一般线性定常连续系统状态方程的解之前,先讨论线性定常齐次状态方程的解,以引入矩阵指数函数和状态转移矩阵等概念。所谓齐次状态方程就是指状态方程中不考虑输入项(即u(t)=0)的作用,满足方程解的齐次性。研究齐次状态方程的解就是研究系统本身在无外力作用下的自由(自治)运动。所谓非齐次状态方程就是指状态方程中输入项的作用,状态方程解对输入具有非齐次性。研究非齐次状态方程的解就是研究系统在外力作用下的强迫运动。
2025/4/26第3章线性系统的时域分析齐次状态方程的解线性定常连续系统的状态转移矩阵线性定常连续系统非齐次状态方程的解下面,将依次分别讨论:
2025/4/26第3章线性系统的时域分析3.1.1线性定常齐次状态方程的解所谓齐次状态方程，即为下列不考虑输入的自治方程x’=Ax齐次状态方程满足初始状态的解,也就是由初始时刻t0的初始状态x(t0)所引起的无输入强迫项(无外力)时的自由运动。
2025/4/26第3章线性系统的时域分析对上述齐次状态方程,常用的常微分方程求解方法有级数展开法和拉氏变换法2种。
2025/4/26第3章线性系统的时域分析级数展开法级数展开法在求解齐次状态方程式之前,首先观察标量常微分方程在初始时刻t0=0的解。该方程中x(t)为标量变量,a为常数。由常微分方程理论知,该方程的解连续可微。因此,该解经泰勒展开可表征为无穷级数,即有式中,qk(k=1,2,...)为待定级数展开系数。
2025/4/26第3章线性系统的时域分析将所设解代入该微分方程,可得如果所设解是方程的真实解,则对任意t,上式均成立。因此,使t有相同幂次项的各项系数相等,即可求得令x(t)的解表达式中t=0,可确定q0=x(0)因此,x(t)的解表达式可写为
2025/4/26第3章线性系统的时域分析上述求解标量微分方程的级数展开法,可推广至求解向量状态方程的解。为此,设其解为t的向量幂级数,即x(t)=q0+q1t+q2t2+…+qktk+… 式中,qk(k=1,2,...)为待定级数展开系数向量。将所设解代入该向量状态方程x’=Ax,可得q1+2q2t+3q3t2+…+kqktk-1+…=A(q0+q1t+q2t2+…+qktk+…)如果所设解是方程的真实解,则对任意t,上式均成立。因此,使t有相同幂次项的各项系数相等,即可求得
2025/4/26第3章线性系统的时域分析若初始时刻t0=0,初始状态x(0)=x0,则可确定q0=x(0)=x0因此,状态x(t)的解可写为该方程右边括号里的展开式是n×n维矩阵函数。由于它类似于标量指数函数的无穷级数展开式,所以称为矩阵指数函数,且记为
2025/4/26第3章线性系统的时域分析利用矩阵指数函数符号,齐次状态方程的解可写为：x(t)=eAtx0
2025/4/26第3章线性系统的时域分析拉氏变换法2．拉氏变换法对该齐次状态方程x’=Ax,设初始时刻t0=0且初始状态x(t0)=x0,对方程两边取拉氏变换,可得sX(s)-x0=AX(s)于是可求得该齐次状态方程的解x(t)的拉氏变换为X(s)=(sI-A)-1x0
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