矩阵的特征值和特征.pptxVIP

n维向量的概念01定义n个有顺序的数所组成的数组02称做n维向量，数称为向量03的分量（或坐标），aj叫做的第j个分量（或坐标），分量全为实数的向量称为实向量，分量是复数的向量称为复向量。04第四节矩阵的特征值与特征向量

我们只讨论实向量。向量一般用希腊字母表示（有时采用黑体）。行向量：列向量：行向量、列向量统称为向量。

只有一行或一列的矩阵，也可称为向量。01如02的行向量为03

01A的列向量为03时有n个m维列向量。02于是，矩阵有m个n维行向量，同

零向量（分量全为零）：n维单位坐标向量：

213向量与相等4记作

n维向量的线性运算定义设则称为向量与的和

定义设010102030405为实数，则称为数与向量的乘积当时，记称它为的负向向量的加法运算与数乘运算统称为向量的线性运算。运算律：设都是n维向量，都是实数，则(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)

注意：两个向量只有维数相同时才能考虑相等的问题，才能有和、有差。

特征值与特征向量的概念01引例在一个n输入n输出的线性系统y=Ax中，其中02我们可发现系统A对于某些输入x，其输出y03恰巧是输入x的倍，即；对某些输入，其输出与输入就不存在这种按比例放大的关系。04

01.例如，对系统，若输入02.则03.若输入，则

数等于多少？这显然是控制论中感兴趣的问题。02所以，给定一个线性系统A，到底对哪些输入，能使其输出按比例放大，放大倍01

定义设A是一个n阶方阵，若存在着一个数和一个非零n维向量x，使得01则称是方阵A的特征值，非零向量x称02为A对应于特征值的特征向量，或简称为A的特征向量。03

1特征值与特征向量的求法2可改写为3这实际上是一个n个未知数n个方程的齐次线性方程组，特征向量可看成是它的一个非零解。而此齐次线性方程组有非零解的充要条件是，即4（称为方阵A的特征方程）

01就可以求出A的特征向量。上述方程的左端是的n次多项式，记作，称为A的特征多项式。从A的特征方程中解出的值就是A的特征值。然后通过求解方程组020304

例求矩阵的特征值和特征向量。

求特征值和特征向量的一般步骤：01由02求出所有特征值03求解齐次线性方程组04（为特征值），则所得非零解x必为特征05向量（它是基础解系的线性组合，且为非零向量）06

结论：不同的特征值对应的特征向量不相等，即：一个特征向量只对应一个特征值。

布置作业：P130:1.2(3).3.