数学陕师大练习题.docx

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数学陕师大练习题

练习题

一、选择题（每题1分，共5分）

1.在数学分析中，函数f(x)在点x=a处连续的充分必要条件是：

A.f(a)存在

B.f(a)与f(x)在x=a处的左、右极限相等

C.f(x)在x=a处可导

D.f(x)在x=a处有定义

2.欧几里得空间中，以下哪个向量组线性无关？

A.(1,2,3),(2,4,6)

B.(1,0,0),(0,1,0),(1,1,1)

C.(1,1,1),(2,2,2),(3,3,3)

D.(1,1,1),(1,1,0),(0,1,1)

3.设矩阵A为3阶方阵，且|A|≠0，则以下哪个结论是正确的？

A.A可逆

B.A的列向量线性相关

C.A的行向量线性相关

D.A的特征值为0

4.设f(x)=e^x，则f(x)在x=0处的泰勒展开式为：

A.1+x+x^2/2

B.1+x+x^2/2+x^3/6

C.1+x+x^2/2+x^3/6+...

D.1+x+x^2/2+x^3/6+x^4/24

5.以下哪个级数收敛？

A.∑n=1^∞(1/n)

B.∑n=1^∞(1/n^2)

C.∑n=1^∞(1/2^n)

D.∑n=1^∞(1/n^(1/2))

二、判断题（每题1分，共5分）

1.若函数f(x)在[0,1]上单调递增，则f(x)在[0,1]上连续。

（）

2.向量组线性相关的充分必要条件是该向量组中存在一个向量可以由其余向量线性表示。

（）

3.若矩阵A可逆，则A的行列式|A|≠0。

（）

4.泰勒公式可以用来近似表示任何可导函数。

（）

5.对于任意收敛的级数，将其各项同时除以n^k（k1），得到的新级数也收敛。

（）

三、填空题（每题1分，共5分）

1.设函数f(x)在x=0处连续，且f(0)=0，则f(x)在x=0处的拉格朗日中值定理为：f(ξ)()=0。

2.已知向量a=(1,2,3)，则a的模长为：。

3.设矩阵A为3阶方阵，且|A|≠0，则A的逆矩阵记作：。

4.设f(x)=ln(x)，则f(x)在x=1处的泰勒展开式为：。

5.以下级数的收敛区间为：。

四、简答题（每题2分，共10分）

1.请简述介值定理的内容。

2.请解释线性相关与线性无关的概念。

3.请说明矩阵乘法的性质。

4.请解释泰勒公式的意义。

5.请简述幂级数的收敛半径的概念。

五、计算题（每题2分，共10分）

1.求函数f(x)=x^36x^2+9x在区间[1,4]上的最大值和最小值。

2.已知向量a=(1,2,3)，向量b=(2,1,1)，求向量a与向量b的夹角余弦值。

3.设矩阵A=\(\begin{pmatrix}123\\456\\789\end{pmatrix}\)，求矩阵A的行列式。

4.对函数f(x)=e^x求x=0处的泰勒展开式的前5项。

5.求级数∑n=1^∞(1/n^2)的和。

六、作图题（每题5分，共10分）

1.画出函数y=|x|在区间[2,2]上的图像。

2.画出向量a=(2,3)和向量b=(3,2)的向量图。

七、案例分析题（每题5分，共10分）

1.设函数f(x)=x^36x^2+9x，求f(x)在x=1处的切线方程。

2.设矩阵A=\(\begin{pmatrix}12\\34\end{pmatrix}\)，求A的特征值和特征向量。

练习题

八、案例设计题（每题2分，共10分）

1.设计一个函数，使其在区间(1,1)内连续但不可导。

2.设计一个3阶方阵，使其行列式为0，但该矩阵不是零矩阵。

3.给定函数f(x)=sin(x)，设计一个案例，通过泰勒展开式计算f(x)在x=π/2的近似值。

4.设计一个级数，使其收敛于π/4。

5.设计一个向量组，证明其线性相关，并通过线性变换展示如何找到一个线性关系。

九、应用题（每题2分，共10分）

1.利用介值定理证明在区间[0,1]内至少存在一点ξ，使得e^ξ=2ξ。

2.给定向量a=(1,2,3)和向量b=(4,5,6)，求向量c，使得向量a、b、c构成一个等差数列。

3.利用矩阵的逆，求解线性方程组：2x+3