重难点09 几何证明压轴题（2大题型+高分技巧+限时提升练）（解析版）.docx

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重难点9几何证明压轴题

几何探究综合题从2020年开始作为解答题的最后一题进行考查,常涉及旋转、动点问题,难度较大。一般三个设问,常考查线段间关系、线段最值等问题,常与中点、角平分线、四点共圆等知识结合,灵活度高，着重考查学生的综合能力.平时练习时熟练掌握角平分线模型、中点模型、线段最值模型、隐圆模型等,加强此题型的练习。

题型一：求最值

此类题考查了勾股定理，等腰三角形的性质与判定，解直角三角形，全等三角形的性质与判定，垂径定理，一点到圆上的距离的最值问题，还需掌握旋转的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、解直角三角形、圆的有关性质、翻折性质等知识，添加辅助线构造全等三角形是解答的关键．

1．（24-25九年级上·重庆北碚·期末）如图，在等边三角形中，点在线段上移动，连接，将线段绕点顺时旋转得到线段，连接交线段于点．

(1)如图1，若，求的长度；

(2)如图2，当三点共线时，连接，点为中点，过点作于点，请猜想与的数量关系，并证明你的猜想；

(3)如图3，若点在直线上移动，等边三角形的边长为，作点关于直线的对称点，连接，取的中点，连接，将绕点逆时针旋转，使得点的对应点为点，连接，请直接写出的最小值．

【答案】(1)

(2)

(3)

【详解】（1）解：如图所示，过点作于点，

∵将线段绕点顺时旋转得到线段，

∴，，

∴，

∵，，

∴，，，

又∵，

∴，

∴，

∴；

（2）解：如图所示，延长至，使得，连接

∵点为中点，

∴，

在中，

∴，

∴，

∵将线段绕点顺时旋转得到线段，

∴，，

∴，

∵是等边三角形，

∴，，

∴，

在中，，

∴，

∴，

∴，

又，

∴，

∵，即垂直平分，

∴，，

∴，

∵，

∴，

∴，

在中，

，

∴，

∴，

∵，，

∴，即

又∵，

∴，则，

∴，

∵，

∴；

（3）解：如图所示，以为边在左侧作等边，连接，，

∵点在直线上移动，等边三角形的边长为，作点关于直线的对称点，

∴，

∵是的中点，

∴，即点在为圆心为半径的圆上运动，

∵是等边三角形，

∴，，

∴，

∵将绕点逆时针旋转，使得点的对应点为点，

∴，，

∴，

∴

∵

∴，

∴

∴

∴，即点在以为圆心，为半径的圆上运动，

∴

当运动到线段上时，取得最小值，最小值为．

2．（第一中学校2023-2024学年九年级下学期二模）如图，在中，，点F在线段上，连接，延长至点D，连接，满足，点H是线段上一动点（与点B，C不重合），连接交于点E，交于点G．

??

(1)如图1，若，求的长；

(2)如图2，若，猜想与的数量关系，并证明你猜想的结论；

(3)如图3，在（1）的条件下，点P是内一点，连接，满足，是否存在点P，H，使得最小，若存在，请直接写出的最小值．

【答案】(1)

(2)，见解析

(3)存在，

【详解】（1）解：∵，

∴，

∵，，

∴，

∵，

∴，

∴，

如图1，作于，

??

∴，，，

∴，，

∴的长为；

（2）解：，证明如下；

由题意知，，

∵，

∴，

又∵，

∴，

∴，即，

∵，，

∴，

∴，

如图2，作交于，作于，

??

∴，

∴，

∴，

∵，，，

∴，

∴，

∴；

（3）解：由（1）可知，，

如图3，以为边作等边三角形，以为圆心，长为半径作，在优弧上取点，连接，

∴，，

∵，

∴四点共圆，即在上在内部的弧上运动，

如图3，作，作于，

∴，

∵，

∴当四点共线，且时，最小，

如图3，作于，交于，作于，则即为的最小值，

∵，

∴，

∴，即在上，则四边形是矩形，

∴，

∴，，

如图3，作的垂直平分线交于，连接，则，

∴，

∴，

设，则，，

∴，

由勾股定理得，，即，

解得，或（舍去），

∴，

∴，

∴，

∴的最小值为，即的最小值为，

∴存在点，的最小值为．

【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，正弦，正切，余弦，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，圆周角定理，四点共圆，勾股定理，矩形的判定与性质，垂直平分线的性质等知识．熟练掌握等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，正弦，正切，余弦，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，圆周角定理，四点共圆，勾股定理，矩形的判定与性质，垂直平分线的性质是解题的关键．

3．（2023年重庆市育才中学教育集团中考二模）如图，为等边三角形，点D为边上一动点，连接，将线段绕点逆时针旋转角得线段，连接、，其中与交于点F．

??

(1)如图1，若D为中点，，，求的长；

(2)如图2，若，猜想线段，的数量关系，并证明你的猜想；

(3)如图3，在（2）的条件下，将沿翻折得，为的中点，连接，当最小时，在内找一点P，使的值最小，若，直接写出的最小值．

【答案】(1)

(2)，见解析

(3)

【详解】（1）∵为等