《对偶单纯形法及其算法分析》课件.pptVIP

对偶单纯形法及其算法分析欢迎来到《对偶单纯形法及其算法分析》课程。本门课程将系统介绍对偶单纯形法这一重要的线性规划求解方法，深入剖析其算法思想、实现步骤及应用场景。我们将从线性规划基础开始，通过对比原始单纯形法，逐步理解对偶单纯形法的特点与优势。

线性规划简介线性规划基本问题模型线性规划是运筹学的重要分支，主要研究在线性约束条件下寻找线性目标函数最优值的数学方法。其标准形式可表示为：最小化（或最大化）目标函数cTx，同时满足约束条件Ax=b和x≥0，其中c,x∈Rn，A∈Rm×n，b∈Rm。工业与经济中的应用线性规划在现实中有着广泛应用，包括资源分配、交通运输、生产计划、投资组合等领域。例如，制造企业可利用线性规划确定最优生产方案，以最小化成本或最大化利润。

单纯形法简介起源时期单纯形法由美国数学家乔治·丹齐格(GeorgeDantzig)于1947年提出，最初是为解决美国空军的物流规划问题而设计的线性规划求解算法。理论完善20世纪50-60年代，研究人员对单纯形法的理论基础进行了深入研究，包括对偶理论、退化问题处理等关键技术得到完善。计算机实现随着计算机技术发展，单纯形法得到高效实现，成为解决线性规划问题的标准方法，并广泛应用于工业、经济决策中。现代应用

单纯形法的基本思想初始基可行解单纯形法从一个基本可行解（对应可行域的一个极点）开始，通常通过构造人工问题获得。这个解必须满足所有约束条件，为后续优化提供起点。寻找改进方向算法检查当前解是否最优。如不是最优，则确定一个非基变量作为入基变量，使目标函数值得到改进。入基变量的选择基于检验数（简化成本），选择检验数最负的变量。变量交换确定出基变量（离开基的变量），通常采用最小比值法则确保新解仍然可行。然后进行基变换，计算新的基可行解，并更新单纯形表。迭代至最优重复上述步骤，直至找到最优解（所有检验数均非负）或发现问题无界（某些情况下目标函数可无限优化）。每次迭代都使目标函数值不断改进。

对偶理论简介对偶问题定义给定一个线性规划原问题（称为原问题）：最小化cTx，满足Ax=b,x≥0，其对偶问题为：最大化bTy，满足ATy≤c。对偶问题通过转置系数矩阵、互换约束条件与目标函数而得到，是原问题的镜像表示。原问题与对偶问题的联系弱对偶性：原问题的任一可行解的目标值不小于对偶问题任一可行解的目标值。强对偶性：若原问题有最优解，则对偶问题也有最优解，且两个问题的最优目标值相等。这是对偶单纯形法的理论基础。互补松弛性最优解满足：若某变量为正，则其对应的对偶约束取等号；若某对偶约束不取等号，则其对应的原变量为零。这一性质为检验解的最优性提供了重要工具，也是对偶单纯形法设计的核心原理。

课程内容架构应用与案例算法性能对比与实际问题求解算法实现伪代码、迭代过程与程序设计对偶单纯形法基本思想、步骤与几何解释对偶理论原问题与对偶问题的关系线性规划基础标准形式与单纯形法本课程采用由基础到应用的递进式结构，首先介绍线性规划与单纯形法基础知识，然后深入对偶理论，重点讲解对偶单纯形法的原理与步骤，最后通过算法实现和实际应用案例加深理解。每个层次都是后续内容的基础，形成完整的知识体系。

线性规划标准形式确定决策变量明确需要求解的未知数，并用数学符号表示，如生产问题中各产品的生产数量x?,x?,...,x?。构建目标函数根据问题需求建立最大化或最小化的线性目标函数，如最大化利润maxc?x?+c?x?+...+c?x?。列出约束条件将问题中的资源限制、平衡条件等转化为等式或不等式约束，如资源限制a??x?+a??x?+...+a??x?≤b?。转化为标准形式将目标函数化为最小化形式，将不等式约束通过引入松弛变量转化为等式约束，确保所有变量非负。线性规划的标准形式是算法实现的基础，它统一了问题的表达方式，便于使用矩阵运算进行求解。标准形式的构建需要根据原始问题特点进行适当变换，这些变换包括目标函数方向调整、约束类型转换和变量限制调整等。

约束条件与变量约束类型数学表达标准化方法实际意义等式约束ai1x1+...+ainxn=bi直接保留精确平衡关系小于等于约束ai1x1+...+ainxn≤bi添加松弛变量si≥0资源上限限制大于等于约束ai1x1+...+ainxn≥bi减去剩余变量si≥0最低需求要求无符号限制变量xj（无约束）xj=xj+-xj-，两个变量均≥0可正可负的量在线性规划中，约束条件反映了问题中的各种限制，可分为等式约束和不等式约束。等式约束通常表示平衡关系，如物料平衡；不等式约束则表示资源限制或需求要求，需要通过引入松弛变量或剩余变量转为等式。变量通常需满足