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青岛科技大学
如果能将一般位置直线变换成特殊位置（投影面平行线或垂直线），
对解决它的度量和定位问题很有利。
这种方法称为变换投影面法，简称换面法。
当直线对投影面处于一般位置时，它们的投影既不反映实长，也不反映直线对投影面倾角的真实大小；
3.1换面法的基本概念
但当直线为投影面平行线时，其投影可反映直线的实长和对投影面的真实倾角。
若几何要素在两投影面体系中不处于特殊位置时，则可保留一个投影面，用另外一个与保留的投影面垂直的新投影面去替换另一投影面，构成一个新的投影体系，使几何要素在新的投影体系中处于特殊位置，以便于作图求解。
返回
A
X1
O1
3.2点的投影变换
点的换面是直线换面的基础，因此我们首先讨论点的换面问题。
（均反映空间点A到H面的距离）
V
H
X1
O1
H
V1
a1
由投影关系可知：
将投影面展开摊平后得到投影图：
a1’ax1=aax
点的新投影到新轴的距离等
于被替换的投影到旧轴的距离
a1’ax1=aax=Aa
a1
V1
现在用V1去替换V
（V1⊥H），
[例1]如图所示，求A点的H1投影a1。
点的新投影到新轴的距离等
于被替换的投影到旧轴的距离
H1
a1
V
返回
3.3直线的投影变换
直线的换面是通过直线上两个点（一般取端点）的换面来实现的。
3.3.1直线的一次变换
X1
a1’
b1’
空间情况：求一般位置直线的实长及倾角α
[例1]求一般位置直线AB的实长及对H面的倾角α。
空间情况分析
用∥AB、⊥H的新投影面V1替换V，
在新投影体系V1/H中，直线AB成
为正平线，其正面投影a1’b1’为实
长，它与X1轴的夹角为对H面的倾角α。
X1
a1
b1’
α
H
V1
投影作图方法步骤
（1）作新轴X1∥ab；
（2）过a、b分别作X1轴的垂线，得到a1’、b1’；
（3）连接a1’、b1’即可求得ＡＢ的实长和倾角α。
[例2]求直线AB的实长及对V面的倾角β。
β
X1
a1
b1
H1
V
分析：
水平线反映直线的实长及对V面的倾角β，应用H1去替换H，
构成新投影体系H1/V，得到AB的H1投影a1、b1，从而求得实长和β。
作图步骤：
（1）作新轴X1∥a’b’；
（2）过a’、b’分别作X1轴的
垂线，得到a1、b1；
（3）连接a1、b1即可求得AB
的实长和倾角β。
也可用换面法反
过来去求原投影。
X1
V1
a1’b1’
H
X1
a1b1’
新轴应垂直于反
映实长的投影。
[例3]将水平线AB变换成投影面垂直线。
分析：水平线只能变换成正垂线，用V1（V1⊥AB）替换V，构成H/V1体系。
3.3.2直线的二次变换
[例4]将一般位置直线AB变换成
投影面垂直线(铅垂线)。
作图步骤：
（1）将AB变成正平线（X1∥ab）；
（２）将正平线变成铅垂线
（X2⊥a1’b1’）；
H
V1
X1
b1’
a1
V1
H2
X2
b2a2
通过二次换面可将一般位置直线变换成投影面垂直线（先平行、再垂直）
[例5]过A点作直线BC的垂线AD及其垂足D，
并求出A与BC之间的真实距离。
（用换面法）
真实距离
d’
c1’
d1’
b1’
a1’
X1
H
V1
d2
a2
V1
H2
X2
d
分析：
通过换面将BC变换为投影
面平行线，则可据直角投影定
理作出垂线AD，如下图所示。
作图步骤：
（1）一次换面将CB变换为正平线，
并作出D，连接AD为所求垂线；
（2）第二次换面法求出AD实长。
[例6]求作交叉两直线AB、CD的公垂线MN，以及AB、CD
间的距离（实长）。
分析：
CD为铅垂线，因此MN的水平投影n应重合在c(d)上；又因AB是一般位置直线，CD为铅垂线，所以二者的公垂线MN为水平线，据直角投影定理可求出m和m’。由MN为水平线，可求出n’。而mn即为AB、CD间距离实长。
作图步骤：
（1）定出n后，过n作nm⊥ab
得到m，求出m’；
（2）过m’作直线∥OX轴，与c’d’
的交点为n’；
（3）mn为AB、CD间距离。
n’
m
m’
n
n
m
[例7]作AB、CD的公垂线EF，EF
与AB、CD分别交于E、F,并求出AB、CD之间的距离实长。
分析：
只要将AB、CD之一
变换为投影面垂直线就转
换为了与前一题相同的问
题，按前题思路即可完成
该题。
e’
f’
e
f
c1’
e1’
f1’
d1’
X2
V1
H2
X1
H
V1
a1’
b1’
c2
d2
f2
a2b2
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